Para medir
(a aceleração da gravidade), realiza-se o experimento a seguir. Um bola é solta do topo de um edifício de 30 m de altura. À medida que o objeto vai caindo, sua velocidade
vai sendo medida en várias alturas por sensores presos ao edifício. Os dados medidos no experimento são fornecidos na tabela.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|
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0 | 9.85 | 14.32 | 17.63 | 19.34 | 22.41 |
A velocidade
da bola em função da distância
é dada por
. Usando ajuste de curvas via Método dos Mínimos Quadrados, determine o valor experimental de
. Trabalhe com 4 casas decimais.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente quer medir a aceleração da gravidade (
) usando um experimento onde uma bola é solta de um prédio de 30 metros. Conforme a bola cai, a velocidade (
) dela é medida em várias alturas com sensores. A gente tem uma tabela com essas medidas de altura (
) e velocidade (
). A equação que relaciona a velocidade com a altura é
. Para encontrar
, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para ajustar uma curva aos dados e encontrar a melhor estimativa possível de
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Vamos calcular
para cada altura
. Isso vai facilitar na hora de aplicar o método dos mínimos quadrados.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0 | 9.85 | 14.32 | 17.63 | 19.34 | 22.41 |
|
0 | 97.0225 | 205.1024 | 310.9569 | 373.9396 | 502.0881 |
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor linha que se ajusta aos nossos dados de
versus
. A equação da reta é
, que é do tipo
, onde
.
Para encontrar o coeficiente angular (
), usamos a fórmula:
Onde:
-
é o número de pontos (nesse caso, 6) -
é a soma dos produtos de cada por -
é a soma de todas as alturas -
é a soma de todos os -
é a soma dos quadrados das alturas
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas somas:
-
Soma de
( ): -
Soma de
( ): -
Soma de
( ): -
Soma de
( ):
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do coeficiente angular (
):
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
Lembrando que
, podemos resolver para
:
Resposta
O valor experimental da aceleração da gravidade (
) é aproximadamente 9,8486 m/s².