Para medir
(a aceleração da gravidade), realiza-se o experimento a seguir. Um bola é solta do topo de um edifício de 30 m de altura. À medida que o objeto vai caindo, sua velocidade
vai sendo medida en várias alturas por sensores presos ao edifício. Os dados medidos no experimento são fornecidos na tabela.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0 | 9.85 | 14.32 | 17.63 | 19.34 | 22.41 |
A velocidade
da bola em função da distância
é dada por
. Usando ajuste de curvas via Método dos Mínimos Quadrados, determine o valor experimental de
. Trabalhe com 4 casas decimais.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente quer medir a aceleração da gravidade (
) usando um experimento onde uma bola é solta de um prédio de 30 metros. Conforme a bola cai, a velocidade (
) dela é medida em várias alturas com sensores. A gente tem uma tabela com essas medidas de altura (
) e velocidade (
). A equação que relaciona a velocidade com a altura é
. Para encontrar
, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para ajustar uma curva aos dados e encontrar a melhor estimativa possível de
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Vamos calcular
para cada altura
. Isso vai facilitar na hora de aplicar o método dos mínimos quadrados.
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
0 | 9.85 | 14.32 | 17.63 | 19.34 | 22.41 |
|
0 | 97.0225 | 205.1024 | 310.9569 | 373.9396 | 502.0881 |
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor linha que se ajusta aos nossos dados de
versus
. A equação da reta é
, que é do tipo
, onde
.
Para encontrar o coeficiente angular (
), usamos a fórmula:
Onde:
-
é o número de pontos (nesse caso, 6) -
é a soma dos produtos de cada por -
é a soma de todas as alturas -
é a soma de todos os -
é a soma dos quadrados das alturas
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas somas:
-
Soma de
( ): -
Soma de
( ): -
Soma de
( ): -
Soma de
( ):
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do coeficiente angular (
):
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
Lembrando que
, podemos resolver para
:
Resposta
O valor experimental da aceleração da gravidade (
) é aproximadamente 9,8486 m/s².
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
a)
Respostas: a)
a)
Respostas: a)
A intensidade de uma frente de radiação é dada pela expressão
. Encontre as constantes
e
usando os seguintes dados:
|
0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
3.16 | 2.38 | 1.75 | 1.34 | 1.00 | 0.74 |
Trabalhe com 4 casas decimais.
No processo de fabricação de fibras eletroforéticas, o diâmetro da fibra
está relacionado à corrente
. Os seguintes dados são medidos durante a produção.
|
300 | 300 | 350 | 400 | 400 | 500 | 500 | 650 | 650 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
22 | 26 | 27 | 30 | 34 | 33 | 33.5 | 37 | 42 |
A relação entre a corrente elétrica e o diâmetro pode ser modelada na forma
. Use os dados da tabela para determinar as constantes
e
que fazem o melhor ajuste dos dados. Trabalhe com 4 casas decimais.