Para medir g (a aceleração da gravidade), realiza-se o experimento a seguir. Um bola é solta do topo de um edifício de 30 m de altura. À medida que o objeto vai caindo, sua velocidade v vai sendo medida en várias alturas por sensores presos ao edifício. Os dados medidos no experimento são fornecidos na tabela.
x(m) (altura) 0 5 10 15 20 25
v(m / s) (velocidade) 0 9.85 14.32 17.63 19.34 22.41
A velocidade v da bola em função da distância x é dada por v^2=2 g x. Usando ajuste de curvas via Método dos Mínimos Quadrados, determine o valor experimental de g. Trabalhe com 4 casas decimais.
Obs.: O sentido positivo para medida da altura e do topo do edifício para o solo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente quer medir a aceleração da gravidade ( g) usando um experimento onde uma bola é solta de um prédio de 30 metros. Conforme a bola cai, a velocidade ( v) dela é medida em várias alturas com sensores. A gente tem uma tabela com essas medidas de altura ( x) e velocidade ( v). A equação que relaciona a velocidade com a altura é v^2 = 2 g x. Para encontrar g, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para ajustar uma curva aos dados e encontrar a melhor estimativa possível de g.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Vamos calcular v^2 para cada altura x. Isso vai facilitar na hora de aplicar o método dos mínimos quadrados.
x(m) 0 5 10 15 20 25
v(m/s) 0 9.85 14.32 17.63 19.34 22.41
v^2(m^2/s^2) 0 97.0225 205.1024 310.9569 373.9396 502.0881

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor linha que se ajusta aos nossos dados de v^2 versus x. A equação da reta é v^2 = 2g x, que é do tipo y = m x, onde m = 2g.
Para encontrar o coeficiente angular ( m), usamos a fórmula:
m = N sumx y - sumx sumyN sumx^2 - (sumx)^2
Onde:
  • N é o número de pontos (nesse caso, 6)
  • sumx y é a soma dos produtos de cada x por v^2
  • sumx é a soma de todas as alturas
  • sumy é a soma de todos os v^2
  • sumx^2 é a soma dos quadrados das alturas

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas:
  1. Soma de x ( sumx):
    0 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75
  2. Soma de v^2 ( sumy):
    0 + 97.0225 + 205.1024 + 310.9569 + 373.9396 + 502.0881 = 1489.1095
  3. Soma de x^2 ( sumx^2):
    0^2 + 5^2 + 10^2 + 15^2 + 20^2 + 25^2 = 0 + 25 + 100 + 225 + 400 + 625 = 1375
  4. Soma de x y ( sumx y):
    (0 times 0) + (5 times 97.0225) + (10 times 205.1024) + (15 times 310.9569) + (20 times 373.9396) + (25 times 502.0881)
    = 0 + 485.1125 + 2051.024 + 4664.3535 + 7478.792 + 12552.2025 = 27231.485

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do coeficiente angular ( m):
m = 6 times 27231.485 - 75 times 1489.10956 times 1375 - 75^2
Calculando o numerador:
6 times 27231.485 = 163388.91
75 times 1489.1095 = 111683.21
Numerador = 163388.91 - 111683.21 = 51705.7
Calculando o denominador:
6 times 1375 = 8250
75^2 = 5625
Denominador = 8250 - 5625 = 2625
Então:
m = 51705.72625 approx 19.6972 , m^2/s^2m^-1

Passo 6

Lembrando que m = 2g, podemos resolver para g:
g = m2 = 19.69722 approx 9.8486 , m/s^2

Resposta

O valor experimental da aceleração da gravidade ( g) é aproximadamente 9,8486 m/s².

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