A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial . Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem quatro funções de iteração que servem para aproximar a raiz cúbica de 21 usando o Método Iterativo Linear. A gente começa com uma aproximação inicial de . O objetivo aqui é colocar essas funções em ordem de quão rápido elas convergem para o valor real da raiz cúbica de 21. Para isso, vamos precisar entender como cada função se comporta e calcular a derivada de cada uma no ponto fixo, que é a raiz cúbica de 21.

Passo 2

Vamos focar na função de iteração que você enviou:
Essa função é usada para encontrar uma aproximação melhor da raiz cúbica de 21 a cada passo do método iterativo.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar o ponto fixo dessa função, que é o valor de que satisfaz . No nosso caso, sabemos que é o ponto fixo, pois estamos procurando essa raiz cúbica.

Passo 4

Para entender a velocidade de convergência, vamos calcular a derivada da função e avaliar essa derivada no ponto fixo . A derivada nos dá uma ideia de quão rápido a sequência gerada pelo método iterativo está se aproximando do valor real.
Vamos calcular :
Usando a regra do quociente:
Simplificando isso:
Agora, avaliamos essa derivada no ponto :
Sabemos que , então:

Passo 5

Como o valor absoluto da derivada é menor que 1, isso indica que a função de iteração converge para a raiz cúbica de 21. Quanto menor for esse valor absoluto, mais rápida será a convergência. Portanto, para ordenar as funções de iteração pela velocidade de convergência, você deve comparar os valores absolutos das derivadas calculadas no ponto fixo para cada função.

Resposta

A função de iteração converge para a raiz cúbica de 21, e sua velocidade pode ser avaliada através da derivada no ponto fixo. Para ordenar as quatro funções de iteração pela velocidade de convergência, calcule para cada função . A função com o menor valor absoluto da derivada terá a convergência mais rápida.

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(a) para ;