A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para
via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial
. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem quatro funções de iteração que servem para aproximar a raiz cúbica de 21 usando o Método Iterativo Linear. A gente começa com uma aproximação inicial de
. O objetivo aqui é colocar essas funções em ordem de quão rápido elas convergem para o valor real da raiz cúbica de 21. Para isso, vamos precisar entender como cada função se comporta e calcular a derivada de cada uma no ponto fixo, que é a raiz cúbica de 21.
Passo 2
Vamos focar na função de iteração que você enviou:
Essa função é usada para encontrar uma aproximação melhor da raiz cúbica de 21 a cada passo do método iterativo.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar o ponto fixo dessa função, que é o valor de
que satisfaz
. No nosso caso, sabemos que
é o ponto fixo, pois estamos procurando essa raiz cúbica.
Passo 4
Para entender a velocidade de convergência, vamos calcular a derivada da função
e avaliar essa derivada no ponto fixo
. A derivada nos dá uma ideia de quão rápido a sequência gerada pelo método iterativo está se aproximando do valor real.
Vamos calcular
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando isso:
Agora, avaliamos essa derivada no ponto
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Como o valor absoluto da derivada
é menor que 1, isso indica que a função de iteração
converge para a raiz cúbica de 21. Quanto menor for esse valor absoluto, mais rápida será a convergência. Portanto, para ordenar as funções de iteração pela velocidade de convergência, você deve comparar os valores absolutos das derivadas calculadas no ponto fixo para cada função.
Resposta
A função de iteração
converge para a raiz cúbica de 21, e sua velocidade pode ser avaliada através da derivada no ponto fixo. Para ordenar as quatro funções de iteração pela velocidade de convergência, calcule
para cada função
. A função com o menor valor absoluto da derivada terá a convergência mais rápida.
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Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(a) para
;
(a)