A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para raiz[3]21 via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial x0=1. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(a) phi1(x)=20 x^3+2121 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem quatro funções de iteração que servem para aproximar a raiz cúbica de 21 usando o Método Iterativo Linear. A gente começa com uma aproximação inicial de . O objetivo aqui é colocar essas funções em ordem de quão rápido elas convergem para o valor real da raiz cúbica de 21. Para isso, vamos precisar entender como cada função se comporta e calcular a derivada de cada uma no ponto fixo, que é a raiz cúbica de 21.

Passo 2

Vamos focar na função de iteração que você enviou:
phi1(x) = 20x^3 + 2121x^2
Essa função é usada para encontrar uma aproximação melhor da raiz cúbica de 21 a cada passo do método iterativo.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar o ponto fixo dessa função, que é o valor de que satisfaz . No nosso caso, sabemos que é o ponto fixo, pois estamos procurando essa raiz cúbica.

Passo 4

Para entender a velocidade de convergência, vamos calcular a derivada da função phi1'(x) = ddx ( 20x^3 + 2121x^2 ) e avaliar essa derivada no ponto fixo phi1'(x) = (60x^2)(21x^2) - (20x^3 + 21)(42x)(21x^2)^2 . A derivada nos dá uma ideia de quão rápido a sequência gerada pelo método iterativo está se aproximando do valor real.
Vamos calcular phi1'(x) = 1260x^4 - (840x^4 + 882x)441x^4 :
phi1'(x) = 420x^4 - 882x441x^4
Usando a regra do quociente:
phi1'(x) = 60x^3 - 12663x^4
Simplificando isso:
phi1'(x) = 20x^3 - 4221x^4
phi1'(raiz[3]21) = 20(raiz[3]21)^3 - 4221(raiz[3]21)^4
phi1'(raiz[3]21) = 20 times 21 - 4221 times (raiz[3]21)^4 = 420 - 4221 times (raiz[3]21)^4 = 37821 times (raiz[3]21)^4 = 18(raiz[3]21)^4
Agora, avaliamos essa derivada no ponto :
Sabemos que , então:

Passo 5

Como o valor absoluto da derivada é menor que 1, isso indica que a função de iteração converge para a raiz cúbica de 21. Quanto menor for esse valor absoluto, mais rápida será a convergência. Portanto, para ordenar as funções de iteração pela velocidade de convergência, você deve comparar os valores absolutos das derivadas calculadas no ponto fixo para cada função.

Resposta

A função de iteração converge para a raiz cúbica de 21, e sua velocidade pode ser avaliada através da derivada no ponto fixo. Para ordenar as quatro funções de iteração pela velocidade de convergência, calcule para cada função . A função com o menor valor absoluto da derivada terá a convergência mais rápida.

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