Interprete geometricamente e escreva um algoritmo para o Método das Secantes

Passo 1

Beleza, você quer entender geometricamente o Método das Secantes e também ver como transformar isso em um algoritmo, certo? Então, vamos falar sobre como usar esse método numérico para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria, cálculo e lógica de programação.

Passo 2

Primeiro, o Método das Secantes é usado para encontrar as raízes de uma função, ou seja, os valores de que fazem . Geometricamente, ele funciona traçando uma secante entre dois pontos da curva da função e usando essa linha para estimar onde a função cruza o eixo .

Passo 3

Imagina que você tem dois pontos na curva da função, digamos e . A secante é a linha que passa por esses dois pontos. A interseção dessa linha com o eixo dá uma nova aproximação para a raiz, que chamamos de .

Passo 4

Para transformar isso em um algoritmo, precisamos seguir alguns passos lógicos:
  1. Escolher dois pontos iniciais, e , próximos da raiz que estamos procurando.
  2. Calcular a próxima aproximação usando a fórmula da secante.
  3. Repetir o processo até que a diferença entre e seja menor que um valor de tolerância definido, indicando que chegamos perto o suficiente da raiz.

Passo 5

Vamos detalhar a fórmula usada para calcular . A fórmula da secante é:
Essa equação nos dá a próxima aproximação da raiz baseada nos dois pontos anteriores.

Passo 6

Agora, para transformar isso em um algoritmo, vamos usar uma estrutura de repetição que atualiza os valores de até que a condição de parada seja atendida.

Resposta

def metodo_das_secantes(f, x0, x1, tol=1e-5, max_iter=100):
    """
    Implementa o Método das Secantes para encontrar a raiz de f(x) = 0.
    
    Parâmetros:
    f       : função para encontrar a raiz
    x0, x1  : aproximações iniciais
    tol     : tolerância para a condição de parada
    max_iter: número máximo de iterações
    
    Retorna:
    x_n+1   : aproximação da raiz
    """
    for _ in range(max_iter):
        f_x0 = f(x0)
        f_x1 = f(x1)
        if f_x1 - f_x0 == 0:
            print("Divisão por zero!")
            return None
        x2 = x1 - f_x1 * (x1 - x0) / (f_x1 - f_x0)
        if abs(x2 - x1) < tol:
            return x2
        x0, x1 = x1, x2
    print("Número máximo de iterações alcançado.")
    return None

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(a)
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(a) para ;
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f) para ;