Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação barx para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere varepsilon=10^-4. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(a) e^x+2^-x+2 cos (x)-6=0 para barx in[1,2];

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton. A equação que queremos resolver é:
e^x + 2^-x + 2 cos(x) - 6 = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Newton, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos da função e da sua derivada . Vamos começar calculando essas duas coisas. Além disso, a aproximação inicial que vamos usar é o ponto médio do intervalo , ou seja, , e vamos parar quando a diferença entre as iterações for menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função f(x) = e^x + 2^-x + 2 cos(x) - 6 e sua derivada f'(x) = ddx(e^x) + ddx(2^-x) + ddx(2 cos(x)) :
f'(x) = e^x - 2^-x ln(2) - 2 sin(x)
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de :

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações do Método de Newton com xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) .
A fórmula do Método de Newton é:
f(1.5) = e^1.5 + 2^-1.5 + 2 cos(1.5) - 6
Vamos calcular f(1.5) approx 4.4817 + 0.3536 + 2 times 0.0707 - 6 :
Primeiro, calculamos f(1.5) approx 4.4817 + 0.3536 + 0.1414 - 6 :
f(1.5) approx -1.0233
f'(1.5) = e^1.5 - 2^-1.5 ln(2) - 2 sin(1.5)
f'(1.5) approx 4.4817 - 0.3536 times 0.6931 - 2 times 0.9975
f'(1.5) approx 4.4817 - 0.2455 - 1.995
Em seguida, calculamos f'(1.5) approx 2.2412 :
x1 = 1.5 - -1.02332.2412
x1 approx 1.5 + 0.4563
x1 approx 1.9563
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:

Passo 4

Vamos verificar se alcançamos a precisão desejada |x1 - x0| = |1.9563 - 1.5| = 0.4563 . Calculamos a diferença entre f(1.9563) = e^1.9563 + 2^-1.9563 + 2 cos(1.9563) - 6 e f(1.9563) approx 7.0701 + 0.2725 + 2 times (-0.3802) - 6 :
f(1.9563) approx 7.0701 + 0.2725 - 0.7604 - 6
Como f(1.9563) approx 0.5822 , precisamos continuar as iterações. Agora, calculamos f'(1.9563) = e^1.9563 - 2^-1.9563 ln(2) - 2 sin(1.9563) :
Primeiro, f'(1.9563) approx 7.0701 - 0.2725 times 0.6931 - 2 times 0.9255 :
f'(1.9563) approx 7.0701 - 0.1891 - 1.851
f'(1.9563) approx 4.0300
x2 = 1.9563 - 0.58224.0300
x2 approx 1.9563 - 0.1442
Em seguida, x2 approx 1.8121 :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Verificamos novamente a diferença:
|x2 - x1| = |1.8121 - 1.9563| = 0.1442
Como ainda é maior que f(1.8121) = e^1.8121 + 2^-1.8121 + 2 cos(1.8121) - 6 , continuamos. Calculamos f(1.8121) approx 6.1338 + 0.3085 + 2 times (-0.2392) - 6 :
f(1.8121) approx 6.1338 + 0.3085 - 0.4784 - 6
f(1.8121) approx -0.0361
f'(1.8121) = e^1.8121 - 2^-1.8121 ln(2) - 2 sin(1.8121)
f'(1.8121) approx 6.1338 - 0.3085 times 0.6931 - 2 times 0.9641
f'(1.8121) approx 6.1338 - 0.2134 - 1.9282
f'(1.8121) approx 3.9922
x3 = 1.8121 - -0.03613.9922
x3 approx 1.8121 + 0.0090
Aplicando a fórmula:
x3 approx 1.8211

Resposta

A aproximação final utilizando o Método de Newton é:
barx approx 1.8211

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