Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(a)
para
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton. A equação que queremos resolver é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Newton, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos da função
e da sua derivada
. Vamos começar calculando essas duas coisas. Além disso, a aproximação inicial que vamos usar é o ponto médio do intervalo
, ou seja,
, e vamos parar quando a diferença entre as iterações for menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
e sua derivada
:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações do Método de Newton com
.
A fórmula do Método de Newton é:
Vamos calcular
:
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Passo 4
Vamos verificar se alcançamos a precisão desejada
. Calculamos a diferença entre
e
:
Como
, precisamos continuar as iterações. Agora, calculamos
:
Primeiro,
:
Em seguida,
:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Verificamos novamente a diferença:
Como ainda é maior que
, continuamos. Calculamos
:
Aplicando a fórmula:
Resposta
A aproximação final utilizando o Método de Newton é: