Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(a) para ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o Método de Newton. A equação que queremos resolver é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o Método de Newton, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos da função e da sua derivada . Vamos começar calculando essas duas coisas. Além disso, a aproximação inicial que vamos usar é o ponto médio do intervalo , ou seja, , e vamos parar quando a diferença entre as iterações for menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função e sua derivada :
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de :

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações do Método de Newton com .
A fórmula do Método de Newton é:
Vamos calcular :
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:

Passo 4

Vamos verificar se alcançamos a precisão desejada . Calculamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar as iterações. Agora, calculamos :
Primeiro, :
Em seguida, :
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Verificamos novamente a diferença:
Como ainda é maior que , continuamos. Calculamos :
Aplicando a fórmula:

Resposta

A aproximação final utilizando o Método de Newton é:

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A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial . Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(a)
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f) para ;
Suponha que a equação seja uma função cuja tenha uma única solução em um intervalo , sendo que é diferenciável nesse intervalo. Suponha ainda que . É possível pensar em uma estratégia para resolver essa equação via Método da Bissecção ? Em caso possível, descreva sua estratégia.