Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f) para ;

Passo 1

Beleza, então o que a questão está pedindo é para usarmos o Método de Newton para encontrar uma aproximação da solução da equação dentro do intervalo [3, 4]. O Método de Newton é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar calcular a função e sua derivada, escolher um ponto inicial (aqui, o ponto médio do intervalo, que é 3,5) e iterar até chegar a uma precisão de 4 casas decimais, ou seja, até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função e sua derivada. A função que queremos resolver é:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos também da derivada dessa função:
Essas duas expressões são necessárias para atualizar nossas aproximações de x.

Passo 3

O Método de Newton atualiza a aproximação de x usando a fórmula:
Nossa aproximação inicial, , será o ponto médio do intervalo [3, 4], que é 3,5.

Passo 4

Vamos calcular e :
Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton:

Passo 5

Vamos repetir o processo com :
Atualizando:

Passo 6

Agora com :
Atualizando:

Passo 7

Com :
Atualizando:

Passo 8

Verificamos a diferença entre e :
Como ainda não atingimos a precisão desejada, continuamos.

Passo 9

Com :
Atualizando:

Passo 10

Agora, a diferença entre e é:
Continuamos o processo.

Passo 11

Repetindo as iterações até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que , chegamos a:

Resposta

A aproximação da solução usando o Método de Newton é .

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(a) para ;
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