Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f)
para
;
(f)
Passo 1
Beleza, então o que a questão está pedindo é para usarmos o Método de Newton para encontrar uma aproximação da solução da equação
dentro do intervalo [3, 4]. O Método de Newton é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar calcular a função e sua derivada, escolher um ponto inicial (aqui, o ponto médio do intervalo, que é 3,5) e iterar até chegar a uma precisão de 4 casas decimais, ou seja, até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa função e sua derivada. A função que queremos resolver é:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos também da derivada dessa função:
Essas duas expressões são necessárias para atualizar nossas aproximações de x.
Passo 3
O Método de Newton atualiza a aproximação de x usando a fórmula:
Nossa aproximação inicial,
, será o ponto médio do intervalo [3, 4], que é 3,5.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Passo 5
Vamos repetir o processo com
:
Atualizando:
Passo 6
Agora com
:
Atualizando:
Passo 7
Com
:
Atualizando:
Passo 8
Verificamos a diferença entre
e
:
Como ainda não atingimos a precisão desejada, continuamos.
Passo 9
Com
:
Atualizando:
Passo 10
Agora, a diferença entre
e
é:
Continuamos o processo.
Passo 11
Repetindo as iterações até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que
, chegamos a:
Resposta
A aproximação da solução usando o Método de Newton é
.
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Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(a) para
;
(a)
Interprete geometricamente e escreva um algoritmo para o Método das Secantes
Suponha que a equação
seja uma função cuja tenha uma única solução em um intervalo
, sendo que
é diferenciável nesse intervalo. Suponha ainda que
. É possível pensar em uma estratégia para resolver essa equação via Método da Bissecção ? Em caso possível, descreva sua estratégia.
Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções: