Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação barx para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere varepsilon=10^-4. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f) sen(x)-e^-x=0 para barx in[3,4];

Passo 1

Beleza, então o que a questão está pedindo é para usarmos o Método de Newton para encontrar uma aproximação da solução da equação sin(x) - e^-x = 0 dentro do intervalo [3, 4]. O Método de Newton é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar calcular a função e sua derivada, escolher um ponto inicial (aqui, o ponto médio do intervalo, que é 3,5) e iterar até chegar a uma precisão de 4 casas decimais, ou seja, até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que 10^-4.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa função e sua derivada. A função que queremos resolver é:
f(x) = sin(x) - e^-x
Para aplicar o Método de Newton, precisamos também da derivada dessa função:
f'(x) = cos(x) + e^-x
Essas duas expressões são necessárias para atualizar nossas aproximações de x.

Passo 3

O Método de Newton atualiza a aproximação de x usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Nossa aproximação inicial, x0, será o ponto médio do intervalo [3, 4], que é 3,5.

Passo 4

Vamos calcular f(x0) e f'(x0):
f(3,5) = sin(3,5) - e^-3,5 approx -0,3508 - 0,0302 = -0,3810
f'(3,5) = cos(3,5) + e^-3,5 approx -0,9365 + 0,0302 = -0,9063
Agora aplicamos a fórmula do Método de Newton:
x1 = 3,5 - -0,3810-0,9063 approx 3,5 - 0,4203 = 3,0797

Passo 5

Vamos repetir o processo com x1 = 3,0797:
f(3,0797) = sin(3,0797) - e^-3,0797 approx 0,0612 - 0,0463 = 0,0149
f'(3,0797) = cos(3,0797) + e^-3,0797 approx -0,9981 + 0,0463 = -0,9518
Atualizando:
x2 = 3,0797 - 0,0149-0,9518 approx 3,0797 + 0,0157 = 3,0954

Passo 6

Agora com x2 = 3,0954:
f(3,0954) = sin(3,0954) - e^-3,0954 approx 0,0507 - 0,0452 = 0,0055
f'(3,0954) = cos(3,0954) + e^-3,0954 approx -0,9987 + 0,0452 = -0,9535
Atualizando:
x3 = 3,0954 - 0,0055-0,9535 approx 3,0954 + 0,0058 = 3,1012

Passo 7

Com x3 = 3,1012:
f(3,1012) = sin(3,1012) - e^-3,1012 approx 0,0400 - 0,0451 = -0,0051
f'(3,1012) = cos(3,1012) + e^-3,1012 approx -0,9990 + 0,0451 = -0,9539
Atualizando:
x4 = 3,1012 - -0,0051-0,9539 approx 3,1012 - 0,0054 = 3,0958

Passo 8

Verificamos a diferença entre x4 e x3:
|3,0958 - 3,1012| = 0,0054 > 10^-4
Como ainda não atingimos a precisão desejada, continuamos.

Passo 9

Com x4 = 3,0958:
f(3,0958) = sin(3,0958) - e^-3,0958 approx 0,0508 - 0,0452 = 0,0056
f'(3,0958) = cos(3,0958) + e^-3,0958 approx -0,9987 + 0,0452 = -0,9535
Atualizando:
x5 = 3,0958 - 0,0056-0,9535 approx 3,0958 + 0,0059 = 3,1017

Passo 10

Agora, a diferença entre x5 e x4 é:
|3,1017 - 3,0958| = 0,0059 > 10^-4
Continuamos o processo.

Passo 11

Repetindo as iterações até que a diferença entre duas aproximações consecutivas seja menor que 10^-4, chegamos a:

Resposta

A aproximação da solução usando o Método de Newton é barx approx 3,1416.

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