Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que f^prime(x) mantenha o sinal.
e) f(x)=e^x+cos x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer. Temos a função e queremos encontrar uma raiz dessa função, ou seja, um valor de onde . Além disso, precisamos achar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada não mude de sinal. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de funções contínuas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois valores de f(0) = e^0 + cos(0) = 1 + 1 = 2 onde o sinal da função f(-pi) = e^-pi + cos(-pi) = 1e^pi + (-1) approx 0.043 - 1 = -0.957 muda. Quando isso acontece, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre esses dois pontos, por causa do Teorema do Valor Intermediário.
Vamos calcular em alguns valores:
  • Para :
    Aqui, que é positivo.
  • Para :
    Aqui, que é negativo.
Como muda de negativo para positivo entre e , sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos verificar a derivada da função para garantir que ela mantém o mesmo sinal no intervalo que encontramos. A derivada de f'(x) = e^x - sin(x) é:
f'(-pi) = e^-pi - sin(-pi) = 1e^pi - 0 approx 0.043 > 0
Vamos calcular f'(0) = e^0 - sin(0) = 1 - 0 = 1 > 0 nos extremos do intervalo:
  • Para :
    Aqui, .
  • Para :
    Aqui, .
Como a derivada é positiva em ambos os extremos e sabemos que ela é contínua, podemos concluir que mantém o sinal positivo em todo o intervalo .

Resposta

Um intervalo que contém a raiz é e mantém o sinal positivo nesse intervalo.

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