Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que mantenha o sinal.
e)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer. Temos a função e queremos encontrar uma raiz dessa função, ou seja, um valor de onde . Além disso, precisamos achar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada não mude de sinal. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de funções contínuas e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois valores de onde o sinal da função muda. Quando isso acontece, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre esses dois pontos, por causa do Teorema do Valor Intermediário.
Vamos calcular em alguns valores:
  • Para :
    Aqui, que é positivo.
  • Para :
    Aqui, que é negativo.
Como muda de negativo para positivo entre e , sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos verificar a derivada da função para garantir que ela mantém o mesmo sinal no intervalo que encontramos. A derivada de é:
Vamos calcular nos extremos do intervalo:
  • Para :
    Aqui, .
  • Para :
    Aqui, .
Como a derivada é positiva em ambos os extremos e sabemos que ela é contínua, podemos concluir que mantém o sinal positivo em todo o intervalo .

Resposta

Um intervalo que contém a raiz é e mantém o sinal positivo nesse intervalo.

Exercícios relacionados

Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que mantenha o sinal.
b)
Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que mantenha o sinal.
a)
Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que mantenha o sinal.
d)
Utilize o método gráfico para isolar as raízes das funções. Escreva um intervalo que contenha cada raiz.
a)