Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que f^prime(x) mantenha o sinal.
b) f(x)=x^3+x^2-3 x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar pelo menos uma raiz da função e também definir um intervalo onde essa raiz está e onde a derivada não muda de sinal. Isso faz parte do estudo de funções no cálculo, especialmente quando falamos de continuidade e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma raiz da função. Uma raiz é um valor de f(1) = 1^3 + 1^2 - 3(1) - 3 = 1 + 1 - 3 - 3 = -4 neq 0 que faz f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) - 3 = -1 + 1 + 3 - 3 = 0 . Para isso, podemos usar o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que se a função tem raízes racionais, elas são da forma , onde divide o termo constante e divide o coeficiente líder.
No nosso caso, , o termo constante é -3 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes racionais são .
Vamos testar :
Agora, :
Achamos uma raiz! .

Passo 3

Agora que encontramos f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 como uma raiz, vamos definir um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 12 - 4 - 3 = 5 > 0 mant��m o mesmo sinal (ou seja, a função não muda de crescente para decrescente ou vice-versa nesse intervalo).
Primeiro, encontramos a derivada de f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 :
f'(-1.5) = 3(-1.5)^2 + 2(-1.5) - 3 = 3(2.25) - 3 - 3 = 6.75 - 3 - 3 = 0.75 > 0
Queremos que f'(-0.5) = 3(-0.5)^2 + 2(-0.5) - 3 = 3(0.25) - 1 - 3 = 0.75 - 1 - 3 = -3.25 < 0 não mude de sinal no intervalo escolhido. Vamos escolher um intervalo pequeno ao redor da raiz, por exemplo, f'(-1.1) = 3(-1.1)^2 + 2(-1.1) - 3 approx 3(1.21) - 2.2 - 3 approx 3.63 - 2.2 - 3 = -1.57 < 0 .
Vamos verificar o sinal de f'(-0.9) = 3(-0.9)^2 + 2(-0.9) - 3 approx 3(0.81) - 1.8 - 3 approx 2.43 - 1.8 - 3 = -2.37 < 0 nesse intervalo:
Escolha :
Escolha :
Ah, nesse caso, a derivada muda de sinal no intervalo . Vamos escolher um intervalo menor, próximo à raiz .
Vamos tentar :
Escolha :
Escolha :
Ainda está mudando de sinal. Vamos tentar um intervalo ainda menor, como :
Escolha :
Escolha :
Agora, a derivada é negativa em todo o intervalo , ou seja, mantém o sinal.

Resposta

Uma raiz da função é . Um intervalo que contém essa raiz e onde mantém o sinal é .

Exercícios relacionados