Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que f^prime(x) mantenha o sinal.
d) f(x)=e^x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar ao menos uma raiz da função . Além disso, precisa escrever um intervalo que contenha essa raiz e que a derivada mantenha o mesmo sinal nesse intervalo. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e análise de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a raiz da função. A raiz ocorre quando e^x - 3 = 0 . Então, temos:
e^x = 3
Resolvendo para x = ln(3) :
Para isolar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, a raiz da função é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função f'(x) = e^x . A derivada de é e a derivada de uma constante é zero. Então:
Observamos que é sempre positivo para qualquer valor de , ou seja, para todo .

Passo 4

Com isso, precisamos escolher um intervalo que contenha a raiz ln(3) approx 1,0986 e onde mantenha o mesmo sinal. Como é sempre positivo, qualquer intervalo que contenha vai funcionar.
Vamos escolher o intervalo . Sabemos que:
Então, está dentro de , e como nesse intervalo, atendemos à condição.

Resposta

A raiz da função é e um intervalo que contém essa raiz, onde mantém o sinal positivo, é .

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