Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que
mantenha o sinal.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para isolar pelo menos uma raiz da função
. Além disso, precisamos encontrar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada
mantenha seu sinal constante. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, como encontrar raízes de equações quadráticas e analisar o comportamento da derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função
. Isso significa resolver a equação quadrática:
Para resolver essa equação, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara, que é uma maneira eficiente de encontrar as raízes de qualquer equação do segundo grau. A fórmula é:
Onde, para nossa equação:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo independente)
Substituindo esses valores na fórmula:
Então, as duas raízes são:
Vamos escolher uma delas para continuar. Vamos pegar a raiz positiva:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada
mantenha o mesmo sinal (seja sempre positiva ou sempre negativa). Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
A derivada
nos mostra a inclinação da função. Queremos que essa derivada mantenha o mesmo sinal no intervalo escolhido.
Vamos encontrar onde
para dividir os intervalos:
Isso divide a reta real em dois intervalos:
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
- Para
, por exemplo, : (negativo) - Para
, por exemplo, : (positivo)
Como a raiz que encontramos
é maior que
, vamos escolher um intervalo à direita desse ponto onde
é positivo. Um bom intervalo seria entre
e
, já que a raiz está aproximadamente em
.
Resposta
Uma das raízes da função
é
. Um intervalo que contém essa raiz e onde
mantém o sinal positivo é
.