Isole ao menos uma raiz de cada função. Escreva um intervalo que contenha a raiz e que f^prime(x) mantenha o sinal.
b) f(x)=x^2+3 x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para isolar pelo menos uma raiz da função . Além disso, precisamos encontrar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada mantenha seu sinal constante. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, como encontrar raízes de equações quadráticas e analisar o comportamento da derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função x^2 + 3x - 5 = 0 . Isso significa resolver a equação quadrática:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Para resolver essa equação, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara, que é uma maneira eficiente de encontrar as raízes de qualquer equação do segundo grau. A fórmula é:
x = -3 pm raiz3^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1
Onde, para nossa equação:
  • x = -3 pm raiz9 + 202 (coeficiente de x = -3 pm raiz292 )
  • x = -3 + raiz292 e x = -3 - raiz292 (coeficiente de x = -3 + raiz292 )
  • (termo independente)
Substituindo esses valores na fórmula:
Então, as duas raízes são:
Vamos escolher uma delas para continuar. Vamos pegar a raiz positiva:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um intervalo que contenha essa raiz e onde a derivada f'(x) = ddx(x^2 + 3x - 5) mantenha o mesmo sinal (seja sempre positiva ou sempre negativa). Primeiro, vamos calcular a derivada de f'(x) = 2x + 3 :
2x + 3 = 0
2x = -3
A derivada x = -32 nos mostra a inclinação da função. Queremos que essa derivada mantenha o mesmo sinal no intervalo escolhido.
Vamos encontrar onde f'(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 para dividir os intervalos:
f'(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
Isso divide a reta real em dois intervalos:
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo:
  • Para , por exemplo, : (negativo)
  • Para , por exemplo, : (positivo)
Como a raiz que encontramos é maior que , vamos escolher um intervalo à direita desse ponto onde é positivo. Um bom intervalo seria entre e , já que a raiz está aproximadamente em .

Resposta

Uma das raízes da função é . Um intervalo que contém essa raiz e onde mantém o sinal positivo é .

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