Use o método de Euler para obter uma aproximação para as soluções de cada um dos seguintes problemas de valor inicial.
(b) y^prime=1+y / t, 1 <= t <= 2, y(1)=2, com h=0,25.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o Método de Euler pra aproximar a solução da equação diferencial no intervalo de de 1 até 2, com a condição inicial e um passo ( ) de 0,25. O Método de Euler é uma técnica numérica simples pra resolver equações diferenciais quando a solução exata é difícil de encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método de Euler. Ele basicamente aproxima a solução da equação diferencial usando uma linha reta em cada passo pequeno yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn) . A fórmula básica é:
Aqui, é a função que está na nossa equação diferencial, que no caso é .

Passo 3

Vamos começar com y1 = y0 + h cdot f(t0, y0) = 2 + 0,25 cdot (1 + 21) = 2 + 0,25 cdot 3 = 2 + 0,75 = 2,75 e . O próximo ponto será . A gente aplica a fórmula de Euler:

Passo 4

Agora, y2 = y1 + h cdot f(t1, y1) = 2,75 + 0,25 cdot (1 + 2,751,25) = 2,75 + 0,25 cdot 3,2 = 2,75 + 0,8 = 3,55 e . O próximo ponto é . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Seguimos para y3 = y2 + h cdot f(t2, y2) = 3,55 + 0,25 cdot (1 + 3,551,5) = 3,55 + 0,25 cdot 3,3667 approx 3,55 + 0,8417 = 4,3917 e . O próximo é . Aplicando Euler:

Passo 6

Por fim, temos y4 = y3 + h cdot f(t3, y3) = 4,3917 + 0,25 cdot (1 + 4,39171,75) = 4,3917 + 0,25 cdot 3,5124 approx 4,3917 + 0,8781 = 5,2698 e . O último ponto é . Aplicando a fórmula:

Resposta

Portanto, usando o Método de Euler com passo , a aproximação para é aproximadamente 5,27.

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