Lembre-se de que a velocidade do paraquedista em queda livre pode ser calculada por
v(t)=g mc(1-e^-(c / m) t)
(A) Utilize uma análise de erro de primeira ordem para fazer uma estimativa de v(6), se g=9,8 e m=50 mas c=12,5 pm 1,5.
(B) Refaça a análise de erro, mas com g=9,8, t=6, c=12,5 pm 1,5, e m=50 pm 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve calcular a velocidade de um paraquedista em queda livre. A fórmula que vamos usar é:
v(t) = g cdot mc (1 - e^-(cm) t)
Aqui, g é a aceleração da gravidade, m é a massa do paraquedista, c é a constante de resistência do ar, e t é o tempo. Vamos precisar entender como pequenas variações em c e m afetam a velocidade v(t) utilizando a análise de erro de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular v(6) com os valores fornecidos para a parte (A): g = 9,8, m = 50 kg e c = 12,5. Substituindo na fórmula:
v(6) = 9,8 cdot 5012,5 (1 - e^-(12,550) cdot 6)
Vamos simplificar:
v(6) = 49012,5 (1 - e^-1,5) approx 39,2 cdot (1 - 0,22313) approx 39,2 cdot 0,77687 approx 30,47 , m/s

Passo 3

Agora, para a análise de erro de primeira ordem, vamos considerar como pequenas variações em c afetam v(6). A variação em c é De. Precisamos calcular a derivada de v em relação a c:
partial vpartial c = partialpartial c (g mc (1 - e^-(cm) t))
Calculando a derivada:
partial vpartial c = -g mc^2 (1 - e^-(cm) t) + g mc cdot tm e^-(cm) t
Simplificando:
partial vpartial c = -g mc^2 (1 - e^-kt) + g tc e^-kt
Onde k = cm. Substituindo os valores:
k = 12,550 = 0,25 , s^-1
Então:
partial vpartial c = -9,8 cdot 5012,5^2 (1 - e^-0,25 cdot 6) + 9,8 cdot 612,5 e^-1,5
Calculando cada parte:
-490156,25 (1 - 0,22313) approx -3,136 cdot 0,77687 approx -2,434
58,812,5 cdot 0,22313 approx 4,704 cdot 0,22313 approx 1,05
Somando:
partial vpartial c approx -2,434 + 1,05 approx -1,384 , m/s por unidade de c

Passo 4

Agora, para a parte (B), além de c = 12,5 pm1,5, temos m = 50 pm 2. Vamos calcular as derivadas parciais de v em relação a c e m.

Passo 5

Já temos partial vpartial c approx -1,384 , m/s por unidade de c. Agora, calculamos partial vpartial m:
partial vpartial m = gc (1 - e^-kt) + g mc cdot (c tm^2) e^-kt
Simplificando:
partial vpartial m = 9,812,5 (1 - e^-1,5) + 9,8 cdot 5012,5 cdot (12,5 cdot 650^2) e^-1,5
Calculando:
partial vpartial m approx 0,784 cdot 0,77687 + 39,2 cdot (752500) cdot 0,22313 approx 0,609 + 39,2 cdot 0,03 cdot 0,22313 approx 0,609 + 0,263 approx 0,872 , m/s por unidade de m

Resposta

Considerando as incertezas em c e m, a estimativa de v(6) é:
v(6) approx 30,47 pm raiz(1,384 cdot 1,5)^2 + (0,872 cdot 2)^2 approx 30,47 pm raiz(2,076)^2 + (1,744)^2 approx 30,47 pm raiz4,310 + 3,080 approx 30,47 pm raiz7,390 approx 30,47 pm 2,72 , m/s
Portanto, para a parte (B):
v(6) approx 30,47 pm 2,72 , m/s

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