Use a expansão em série de Taylor de ordem zero até três para prever f (3) para
utilizando o ponto-base . Calcule o erro relativo porcentual para cada aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a expansão em série de Taylor, do zero até a terceira ordem, para estimar o valor de para a função , usando o ponto base . Além disso, precisamos calcular o erro relativo porcentual para cada aproximação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor e como aplicá-las para aproximar valores de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma maneira de aproximar como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas de no ponto . Para nossa finalidade, vamos truncar essa série nos primeiros quatro termos (ordens zero a três).

Passo 3

Vamos calcular os termos da série de Taylor para em torno de . Precisamos das derivadas de até a terceira ordem:
  1. Termo de ordem zero (constante):
  2. Primeira derivada:
  3. Segunda derivada:
  4. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos construir a série de Taylor até a terceira ordem:
Substituindo e os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora usar essa aproximação para estimar . Substituindo na série de Taylor:
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor exato de para comparar:

Passo 7

Por fim, vamos calcular o erro relativo porcentual para cada ordem da aproximação. O erro relativo é dado por:
Nesse caso, como , o erro é:

Resposta

A aproximação de usando a série de Taylor de ordem até três é 554, com erro relativo porcentual de 0%.

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