Use a expansão em série de Taylor de ordem zero até três para prever f (3) para
utilizando o ponto-base . Calcule o erro relativo porcentual para cada aproximação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a expansão em série de Taylor, do zero até a terceira ordem, para estimar o valor de para a função , usando o ponto base . Além disso, precisamos calcular o erro relativo porcentual para cada aproximação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor e como aplicá-las para aproximar valores de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma maneira de aproximar como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas de no ponto . Para nossa finalidade, vamos truncar essa série nos primeiros quatro termos (ordens zero a três).
Passo 3
Vamos calcular os termos da série de Taylor para em torno de . Precisamos das derivadas de até a terceira ordem:
Termo de ordem zero (constante):
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos construir a série de Taylor até a terceira ordem:
Substituindo e os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora usar essa aproximação para estimar . Substituindo na série de Taylor:
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor exato de para comparar:
Passo 7
Por fim, vamos calcular o erro relativo porcentual para cada ordem da aproximação. O erro relativo é dado por:
Nesse caso, como , o erro é:
Resposta
A aproximação de usando a série de Taylor de ordem até três é 554, com erro relativo porcentual de 0%.