Use a expansão em série de Taylor de ordem zero até três para prever f (3) para
f(x)=25 x^3-6 x^2+7 x-88
utilizando o ponto-base x=1. Calcule o erro relativo porcentual varepsilont para cada aproximação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a expansão em série de Taylor, do zero até a terceira ordem, para estimar o valor de para a função , usando o ponto base . Além disso, precisamos calcular o erro relativo porcentual para cada aproximação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor e como aplicá-las para aproximar valores de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma maneira de aproximar como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas de no ponto . Para nossa finalidade, vamos truncar essa série nos primeiros quatro termos (ordens zero a três).

Passo 3

Vamos calcular os termos da série de Taylor para f(a) = f(1) = 25(1)^3 - 6(1)^2 + 7(1) - 88 = 25 - 6 + 7 - 88 = -62 em torno de f'(x) = 75x^2 - 12x + 7 . Precisamos das derivadas de f'(1) = 75(1)^2 - 12(1) + 7 = 75 - 12 + 7 = 70 até a terceira ordem:
  1. Termo de ordem zero (constante):
    f''(x) = 150x - 12
  2. Primeira derivada:
    f''(1) = 150(1) - 12 = 150 - 12 = 138
    f'''(x) = 150
  3. Segunda derivada:
    f'''(1) = 150
  4. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos construir a série de Taylor até a terceira ordem:
P3(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3
Substituindo P3(x) = -62 + 70(x - 1) + 1382(x - 1)^2 + 1506(x - 1)^3 e os valores que encontramos:
P3(x) = -62 + 70(x - 1) + 69(x - 1)^2 + 25(x - 1)^3
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora usar essa aproximação para estimar P3(3) = -62 + 70(3 - 1) + 69(3 - 1)^2 + 25(3 - 1)^3 . Substituindo -62 + 70(2) + 69(4) + 25(8) = -62 + 140 + 276 + 200 = 554 na série de Taylor:
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor exato de f(3) = 25(3)^3 - 6(3)^2 + 7(3) - 88 = 25(27) - 6(9) + 21 - 88 = 675 - 54 + 21 - 88 = 554 para comparar:

Passo 7

Por fim, vamos calcular o erro relativo porcentual varepsilont = | f(3) - Pn(3)f(3) | times 100% para cada ordem da aproximação. O erro relativo é dado por:
varepsilont = | 554 - 554554 | times 100% = 0%
Nesse caso, como , o erro é:

Resposta

A aproximação de usando a série de Taylor de ordem até três é 554, com erro relativo porcentual de 0%.

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