Uma das linhas do espectro de emissão para o Be^3+ tem comprimento de onda igual a 253,4 nm para uma transição que se inicia em n=5. Qual é o número quântico principal do estado de menor energia correspondente a essa emissão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espectro de emissão do Be^3+. A gente vai usar conceitos de física quântica, especificamente as linhas espectrais de átomos com elétron único, tipo o hidrogênio. Vamos precisar da fórmula de Rydberg para transições eletrônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • A linha espectral tem comprimento de onda lambda = 253,4 nm.
  • A transição começa em ni = 5.
  • Queremos encontrar o número quântico principal do estado final nf.

Passo 3

Como estamos lidando com um íon com um único elétron, podemos usar a fórmula de Rydberg para átomos de hidrogênio:
1lambda = R Z^2 ( 1nf^2 - 1ni^2 )
Aqui:
  • R é a constante de Rydberg, aproximadamente 1,097 times 10^7 m^-1.
  • Z é o número atômico do bério, que é 4.
  • ni é o nível inicial, que já sabemos que é 5.
  • nf é o nível final que queremos descobrir.

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Primeiro, convertemos o comprimento de onda para metros:
lambda = 253,4 nm = 253,4 times 10^-9 m
Agora, reescrevemos a fórmula de Rydberg:
1253,4 times 10^-9 = 1,097 times 10^7 times 4^2 ( 1nf^2 - 15^2 )

Passo 5

Vamos calcular o lado direito da equação:
1,097 times 10^7 times 16 = 1,7552 times 10^8 m^-1
E o termo constante:
15^2 = 125 = 0,04
Então, a equação fica:
1253,4 times 10^-9 = 1,7552 times 10^8 ( 1nf^2 - 0,04 )

Passo 6

Calculamos o inverso do comprimento de onda:
1253,4 times 10^-9 approx 3,952 times 10^6 m^-1
Substituindo na equação:
3,952 times 10^6 = 1,7552 times 10^8 ( 1nf^2 - 0,04 )

Passo 7

Isolamos o termo com nf:
1nf^2 - 0,04 = 3,952 times 10^61,7552 times 10^8
Calculando o lado direito:
3,952 times 10^61,7552 times 10^8 approx 0,0225
Então:
1nf^2 = 0,0225 + 0,04 = 0,0625

Passo 8

Agora, resolvemos para nf:
nf^2 = 10,0625 = 16
nf = raiz16 = 4

Resposta

O número quântico principal do estado de menor energia correspondente a essa emissão é nf = 4.

Exercícios relacionados