A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que: A nota do Trabalho seja 290.
Trabalho 302 325 285 339
Final 45 72 54 54

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar a equação da reta de mínimos quadrados com base nas notas de trabalhos de casa e de exames finais de 15 alunos de Computação Numérica. Depois, vamos usar essa reta para descobrir qual a nota de trabalho de casa necessária para que a nota total seja 290. Vamos precisar usar conceitos de regressão linear e entender como aplicar a fórmula dos mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a reta de mínimos quadrados. Basicamente, essa reta é a que melhor aproxima a relação entre duas variáveis, no nosso caso, as notas dos trabalhos de casa (x) e as notas dos finais (y). A ideia é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.

Passo 3

Para encontrar a equação da reta, precisamos calcular alguns valores: a média das notas de trabalho ( ), a média das notas finais ( ), a soma dos produtos das diferenças ( ) e a soma dos quadrados das diferenças das notas de trabalho ( ).

Passo 4

Vamos calcular as médias:
x = 302 + 325 + 285 + 3394 = 12514 = 312.75
y = 45 + 72 + 54 + 544 = 2254 = 56.25

Passo 5

Agora, vamos calcular as diferenças individuais de cada nota em relação à média:
xi - x e yi - y
Para cada par de dados:
Trabalho ( ) Final ( )
302 45 -10.75 -11.25 121.09 115.56
325 72 12.25 15.75 192.19 150.06
285 54 -27.75 -2.25 62.44 770.06
339 54 26.25 -2.25 -59.06 689.06

Passo 6

Vamos somar os valores das últimas duas colunas:
sum (x - x)(y - y) = 121.09 + 192.19 + 62.44 - 59.06 = 316.66
sum (x - x)^2 = 115.56 + 150.06 + 770.06 + 689.06 = 1724.74

Passo 7

Com esses valores, podemos calcular o coeficiente angular ( b = sum (x - x)(y - y)sum (x - x)^2 = 316.661724.74 approx 0.1837 ) da reta:

Passo 8

Agora, vamos calcular o coeficiente linear ( a = y - b cdot x = 56.25 - 0.1837 cdot 312.75 approx 56.25 - 57.39 approx -1.14 ) usando as médias:

Passo 9

Então, a equação da reta de mínimos quadrados é:
y = -1.14 + 0.1837x

Passo 10

Agora, queremos saber qual a nota de trabalho ( 290 = -1.14 + 0.1837x ) é necessária para que a nota total seja 290. Porém, parece que há uma confusão no enunciado. Se “a nota do Trabalho seja 290”, mas segundo os dados, as notas de trabalho estão em torno de 300. Talvez seja para a nota final ser 290, mas isso não faz sentido já que as notas finais estão entre 45 e 72.
Assumindo que queremos que a previsão da nota final seja 290, usando a equação:
290 + 1.14 = 0.1837x
291.14 = 0.1837x
x = 291.140.1837 approx 1584.06

Resposta

Para que a nota final seja 290, a nota de trabalho necessária é aproximadamente 1584.06.

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