Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as equações do método dos mínimos quadrados, deduza um ajuste para o seguinte modelo:
ou seja, determine os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau com interseção com o eixo igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os coeficientes e que melhor ajustam um polinômio de segundo grau ao conjunto de dados, usando o método dos mínimos quadrados. Basicamente, queremos que a linha que a gente traçar (no caso, uma curva quadrática) se aproxime o máximo possível dos pontos que temos, sem considerar uma interseção com o eixo (ou seja, quando é zero).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Ele serve para encontrar a melhor aproximação possível de uma função aos dados que a gente tem, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Nesse caso, a função que estamos ajustando é .
Passo 3
Vamos chamar os pontos de dados que temos de , onde varia de 1 a (o número total de pontos). Nosso objetivo é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre e . Matematicamente, isso fica:
Passo 4
Para achar os valores de e que minimizam essa soma, vamos derivar em relação a e e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações conhecidas como “equações normais”.
Primeiro, derivando em relação a :
Segundo, derivando em relação a :
Passo 5
Simplificando as equações, temos:
Esse é o sistema linear que precisamos resolver para encontrar e .
Passo 6
Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a matriz inversa. Mas, de forma geral, podemos expressar e em termos das somas dos e :
Resposta
Os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para o modelo são: