Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as equações do método dos mínimos quadrados, deduza um ajuste para o seguinte modelo:
y=a1 x+a2 x^2
ou seja, determine os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau com interseção com o eixo y igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os coeficientes e que melhor ajustam um polinômio de segundo grau ao conjunto de dados, usando o método dos mínimos quadrados. Basicamente, queremos que a linha que a gente traçar (no caso, uma curva quadrática) se aproxime o máximo possível dos pontos que temos, sem considerar uma interseção com o eixo (ou seja, quando é zero).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Ele serve para encontrar a melhor aproximação possível de uma função aos dados que a gente tem, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Nesse caso, a função que estamos ajustando é .

Passo 3

Vamos chamar os pontos de dados que temos de S(a1, a2) = sumi=1^n ( yi - a1 xi - a2 xi^2 )^2 , onde varia de 1 a (o número total de pontos). Nosso objetivo é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre e . Matematicamente, isso fica:

Passo 4

Para achar os valores de partial Spartial a1 = -2 sumi=1^n xi ( yi - a1 xi - a2 xi^2 ) = 0 e partial Spartial a2 = -2 sumi=1^n xi^2 ( yi - a1 xi - a2 xi^2 ) = 0 que minimizam essa soma, vamos derivar em relação a e e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações conhecidas como “equações normais”.
Primeiro, derivando em relação a :
Segundo, derivando em relação a :

Passo 5

Simplificando as equações, temos:
Esse é o sistema linear que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a matriz inversa. Mas, de forma geral, podemos expressar a1 = (sum xi yi)(sum xi^4) - (sum xi^3)(sum xi^2 yi) (sum xi^2)(sum xi^4) - (sum xi^3)^2 a2 = (sum xi^2)(sum xi^2 yi) - (sum xi yi)(sum xi^3) (sum xi^2)(sum xi^4) - (sum xi^3)^2 e em termos das somas dos e :

Resposta

Os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para o modelo a1 = (sum xi yi)(sum xi^4) - (sum xi^3)(sum xi^2 yi) (sum xi^2)(sum xi^4) - (sum xi^3)^2 são:
a2 = (sum xi^2)(sum xi^2 yi) - (sum xi yi)(sum xi^3) (sum xi^2)(sum xi^4) - (sum xi^3)^2
e

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