Usando a mesma abordagem que foi empregada para deduzir as equações do método dos mínimos quadrados, deduza um ajuste para o seguinte modelo:
ou seja, determine os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau com interseção com o eixo igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os coeficientes e que melhor ajustam um polinômio de segundo grau ao conjunto de dados, usando o método dos mínimos quadrados. Basicamente, queremos que a linha que a gente traçar (no caso, uma curva quadrática) se aproxime o máximo possível dos pontos que temos, sem considerar uma interseção com o eixo (ou seja, quando é zero).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Ele serve para encontrar a melhor aproximação possível de uma função aos dados que a gente tem, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Nesse caso, a função que estamos ajustando é .

Passo 3

Vamos chamar os pontos de dados que temos de , onde varia de 1 a (o número total de pontos). Nosso objetivo é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre e . Matematicamente, isso fica:

Passo 4

Para achar os valores de e que minimizam essa soma, vamos derivar em relação a e e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações conhecidas como “equações normais”.
Primeiro, derivando em relação a :
Segundo, derivando em relação a :

Passo 5

Simplificando as equações, temos:
Esse é o sistema linear que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a matriz inversa. Mas, de forma geral, podemos expressar e em termos das somas dos e :

Resposta

Os coeficientes que resultam no ajuste por mínimos quadrados para o modelo são:
e

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A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que: A nota do Trabalho seja 290.
Trabalho 302 325 285 339
Final 45 72 54 54
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para e usando o método de Euler.
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onde e são parâmetros. Use regressão para determinar e . Com base na sua análise, faça a previsão de .
1 2 3 4 5
0,5 2 2,9 3,5 4
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0,2
36,547 17,264 8,155 3,852 1,820
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