Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: (x-1) senh x=e^-x

Passo 1

Vamos resolver a equação (x - 1) , senh , x = e^-x. Aqui, estamos lidando com funções hiperbólicas e exponenciais. Para encontrar as raízes dessa equação com um erro menor que 1 times 10^-6, vamos usar métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa encontrar as raízes da equação. As raízes são os valores de x que tornam a equação verdadeira, ou seja, onde (x - 1) , senh , x - e^-x = 0. Vamos chamar essa expressão de f(x):
f(x) = (x - 1) , senh , x - e^-x

Passo 3

Para encontrar as raízes de f(x), vamos começar pelo Método de Newton-Raphson, que é eficiente para encontrar sucessivas aproximações das raízes de uma função. Esse método requer que calculemos a derivada de f(x).
A derivada de f(x) é:
f'(x) = ddx[(x - 1) , senh , x] - ddx[e^-x] = senh , x + (x - 1) , cosh , x + e^-x
Onde cosh , x é a função cosseno hiperbólico.

Passo 4

Escolhemos um valor inicial próximo da raiz. Observando a equação, vamos tentar x = 0:
f(0) = (-1) , senh , 0 - e^0 = -0 - 1 = -1
E para x = 1:
f(1) = (0) , senh , 1 - e^-1 = 0 - 1e approx -0,3679
Ainda negativo. Tentando x = 2:
f(2) = (1) , senh , 2 - e^-2 approx (1) times 3,6269 - 0,1353 approx 3,4916
Como f(1) < 0 e f(2) > 0, sabemos que há pelo menos uma raiz entre 1 e 2.

Passo 5

Aplicando o Método de Newton-Raphson, usamos a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Começamos com x0 = 1.5.
Calculando f(1.5) e f'(1.5):
f(1.5) = (0.5) times senh(1.5) - e^-1.5 approx 0.5 times 2,1293 - 0,2231 approx 0,9429
f'(1.5) = senh(1.5) + (0.5) times cosh(1.5) + e^-1.5 approx 2,1293 + 0.5 times 2,3524 + 0,2231 approx 3,7565
Atualizando:
x1 = 1.5 - 0,94293,7565 approx 1.5 - 0.251 approx 1.249

Passo 6

Repetimos o processo com x1 = 1.249.
Calculando f(1.249) e f'(1.249):
f(1.249) = (0.249) times senh(1.249) - e^-1.249 approx 0.249 times 1,8105 - 0,2872 approx 0,4500 - 0,2872 = 0,1628
f'(1.249) = senh(1.249) + 0.249 times cosh(1.249) + e^-1.249 approx 1,8105 + 0.249 times 1,5203 + 0,2872 approx 1,8105 + 0,3788 + 0,2872 = 2,4765
Atualizando:
x2 = 1.249 - 0,16282,4765 approx 1.249 - 0,0657 approx 1.1833

Passo 7

Repetimos com x2 = 1.1833.
Calculando f(1.1833) e f'(1.1833):
f(1.1833) = (0.1833) times senh(1.1833) - e^-1.1833 approx 0,1833 times 1,6032 - 0,3051 approx 0,2933 - 0,3051 = -0,0118
f'(1.1833) = senh(1.1833) + 0.1833 times cosh(1.1833) + e^-1.1833 approx 1,6032 + 0,1833 times 1,8108 + 0,3051 approx 1,6032 + 0,3310 + 0,3051 = 2,2393
Atualizando:
x3 = 1.1833 - -0,01182,2393 approx 1.1833 + 0,0053 approx 1.1886

Passo 8

Continuamos com x3 = 1.1886.
Calculando f(1.1886) e f'(1.1886):
f(1.1886) = (0.1886) times senh(1.1886) - e^-1.1886 approx 0,1886 times 1,6385 - 0,3057 approx 0,3093 - 0,3057 = 0,0036
f'(1.1886) = senh(1.1886) + 0.1886 times cosh(1.1886) + e^-1.1886 approx 1,6385 + 0,1886 times 1,7749 + 0,3057 approx 1,6385 + 0,3345 + 0,3057 = 2,2787
Atualizando:
x4 = 1.1886 - 0,00362,2787 approx 1.1886 - 0,0016 approx 1.1870

Passo 9

Continuamos com x4 = 1.1870.
Calculando f(1.1870) e f'(1.1870):
f(1.1870) = (0.1870) times senh(1.1870) - e^-1.1870 approx 0,1870 times 1,6308 - 0,3059 approx 0,3043 - 0,3059 = -0,0016
f'(1.1870) = senh(1.1870) + 0.1870 times cosh(1.1870) + e^-1.1870 approx 1,6308 + 0,1870 times 1,7670 + 0,3059 approx 1,6308 + 0,3303 + 0,3059 = 2,2670
Atualizando:
x5 = 1.1870 - -0,00162,2670 approx 1.1870 + 0,0007 approx 1.1877

Passo 10

Repetimos com x5 = 1.1877.
Calculando f(1.1877) e f'(1.1877):
f(1.1877) = (0.1877) times senh(1.1877) - e^-1.1877 approx 0,1877 times 1,6332 - 0,3058 approx 0,3061 - 0,3058 = 0,0003
f'(1.1877) = senh(1.1877) + 0.1877 times cosh(1.1877) + e^-1.1877 approx 1,6332 + 0,1877 times 1,7654 + 0,3058 approx 1,6332 + 0,3315 + 0,3058 = 2,2705
Atualizando:
x6 = 1.1877 - 0,00032,2705 approx 1.1877 - 0,0001 approx 1.1876

Resposta

A raiz da equação (x - 1) , senh , x = e^-x com erro menor que 1 times 10^-6 é aproximadamente:
x approx 1,1876

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