Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: cos ^2 x=-log x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação cos^2 x = -log x. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e logarítmicas, e vamos utilizar métodos numéricos para encontrar as raízes com um erro menor que 1 times 10^-6. Para isso, precisamos entender como essas funções se comportam e aplicar um método apropriado, como o Método de Newton-Raphson, para aproximar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio da equação. Sabemos que o logaritmo natural, log x, está definido para x > 0. Além disso, cos^2 x é sempre não negativo, então temos:
cos^2 x = -log x >= 0 implies log x <= 0 implies x <= 1
Portanto, buscamos soluções no intervalo (0, 1].

Passo 3

Agora, vamos definir uma função que queremos igualar a zero para aplicar o Método de Newton-Raphson:
f(x) = cos^2 x + log x
Queremos encontrar x tal que f(x) = 0.

Passo 4

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada de f(x). Vamos calcular:
f'(x) = ddx (cos^2 x + log x) = 2cos x (-sin x) + 1x = -2cos x sin x + 1x
Simplificando:
f'(x) = -sin(2x) + 1x

Passo 5

Escolhemos um ponto inicial dentro do intervalo (0, 1]. Vamos tentar x0 = 0.5. Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(x0) e f'(x0):
f(0.5) = cos^2(0.5) + log(0.5) approx 0.8776 - 0.6931 = 0.1845
f'(0.5) = -sin(1) + 10.5 approx -0.8415 + 2 = 1.1585
Então:
x1 = 0.5 - 0.18451.1585 approx 0.5 - 0.1594 = 0.3406

Passo 6

Repetimos o processo com x1 = 0.3406:
f(0.3406) = cos^2(0.3406) + log(0.3406) approx 0.9395 - 1.0801 = -0.1406
f'(0.3406) = -sin(0.6812) + 10.3406 approx -0.6285 + 2.9332 = 2.3047
Então:
x2 = 0.3406 - -0.14062.3047 approx 0.3406 + 0.0610 = 0.4016

Passo 7

Continuamos com x2 = 0.4016:
f(0.4016) = cos^2(0.4016) + log(0.4016) approx 0.9217 - 0.9114 = 0.0103
f'(0.4016) = -sin(0.8032) + 10.4016 approx -0.7198 + 2.4910 = 1.7712
Então:
x3 = 0.4016 - 0.01031.7712 approx 0.4016 - 0.0058 = 0.3958

Passo 8

Agora, com x3 = 0.3958:
f(0.3958) = cos^2(0.3958) + log(0.3958) approx 0.9256 - 0.9287 = -0.0031
f'(0.3958) = -sin(0.7916) + 10.3958 approx -0.7135 + 2.5298 = 1.8163
Então:
x4 = 0.3958 - -0.00311.8163 approx 0.3958 + 0.0017 = 0.3975

Passo 9

Continuando com x4 = 0.3975:
f(0.3975) = cos^2(0.3975) + log(0.3975) approx 0.9247 - 0.9234 = 0.0013
f'(0.3975) = -sin(0.7950) + 10.3975 approx -0.7146 + 2.5172 = 1.8026
Então:
x5 = 0.3975 - 0.00131.8026 approx 0.3975 - 0.0007 = 0.3968

Passo 10

Agora, com x5 = 0.3968:
f(0.3968) = cos^2(0.3968) + log(0.3968) approx 0.9251 - 0.9251 = 0
Como f(x5) está muito próximo de zero e a mudança em x é menor que 1 times 10^-6, podemos parar aqui.

Resposta

A raiz da equação cos^2 x = -log x com erro menor que 1 times 10^-6 é aproximadamente x approx 0.3968.

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