Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar, de forma gráfica, as raízes reais da equação . Isso envolve entender onde as duas funções e se encontram no gráfico. Para resolver isso, vamos precisar traçar os gráficos dessas funções e identificar os pontos de interseção, que são as raízes reais da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. A função é a seno hiperbólico de , que é definida como . Já é uma função exponencial decrescente. A outra parte da equação, , é um polinômio de segundo grau.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar o entendimento:
Isso significa que queremos encontrar os valores de onde é igual a .

Passo 4

Agora, vamos traçar os gráficos das duas funções separadamente:
  1. Função :
    • Para :
    • Para : cresce exponencialmente, então também cresce, dependendo do valor de .
    • Para : é negativa, e varia, então pode ser positiva ou negativa.
  2. Função :
    • É uma função exponencial decrescente para todo .
    • Para :
    • À medida que aumenta, tende a 0.
    • À medida que diminui, aumenta rapidamente.

Passo 5

Vamos identificar os pontos onde os gráficos das funções e se intersectam:
  • Para : Ambas as funções são positivas. Podemos esperar uma interseção nessa região.
  • Para : e , então não há interseção aqui.
  • Para : O comportamento das funções pode levar a uma interseção dependendo dos valores específicos.
  • Para : pode ser positiva ou negativa, e aumenta à medida que diminui, o que pode resultar em interseções.

Passo 6

Usando uma calculadora gráfica ou software como o Desmos, plotamos as duas funções:

Passo 7

Observando o gráfico, identificamos os pontos de interseção entre e . Esses pontos correspondem às raízes reais da equação original.

Resposta

As raízes reais da equação são aproximadamente , e .

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