Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^2+4=sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . O conteúdo aqui envolve equações transcendentes, que combinam funções algébricas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos numéricos, já que não dá para achar as raízes exatamente com álgebra simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as raízes dessa equação. A raiz é o valor de que faz com que a equação seja verdadeira, ou seja, que seja igual a .

Passo 3

Vamos visualizar graficamente para ter uma ideia de onde as soluções podem estar. Graficamente, queremos onde os gráficos de e se interceptam.

Passo 4

Observando os gráficos, percebemos que cresce rapidamente e oscila entre -1 e 1. Isso sugere que as soluções, se existirem, estarão próximas de onde é pequeno, ou seja, perto de .

Passo 5

Vamos usar o Método de Newton-Raphson para encontrar uma aproximação da raiz. Esse método usa iterações para chegar cada vez mais perto da solução desejada.

Passo 6

Primeiro, definimos . Queremos encontrar tal que .

Passo 7

Calculamos a derivada de : .

Passo 8

Escolhemos um palpite inicial. Vamos tentar .

Passo 9

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 10

Calculando para f(0) = 0^2 + 4 - sin(0) = 4 :
f'(0) = 2(0) - cos(0) = -1
x1 = 0 - 4-1 = 4

Passo 11

Agora, iteramos com f(4) = 16 + 4 - sin(4) approx 20 - (-0.7568) = 20.7568 :
f'(4) = 8 - cos(4) approx 8 - (-0.6536) = 8.6536
x2 = 4 - 20.75688.6536 approx 4 - 2.400 = 1.6

Passo 12

Iteramos novamente com f(1.6) = (1.6)^2 + 4 - sin(1.6) approx 2.56 + 4 - 0.9996 = 5.5604 :
f'(1.6) = 3.2 - cos(1.6) approx 3.2 - (-0.0292) = 3.2292
x3 = 1.6 - 5.56043.2292 approx 1.6 - 1.722 approx -0.122

Passo 13

Continuamos as iterações até que a diferença entre os valores sucessivos seja menor que . Após várias iterações, chegamos a:

Resposta

A raiz da equação , com erro menor que , é aproximadamente .

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