Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar as raízes da equação
, garantindo que o erro seja menor que
. Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos como rearranjar a equação, tentar encontrar raízes racionais e aplicar métodos numéricos como o de Newton-Raphson. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação igualada a zero para facilitar. Subtraindo todos os termos do lado direito para o esquerdo, temos:
Agora, nossa equação está no formato padrão de um polinômio de quarto grau.
Passo 3
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema sugere que possíveis raízes são frações que dividem o termo constante pelo coeficiente líder. Aqui, o termo constante é
e o coeficiente líder é
.
Então, possíveis candidatos para raízes racionais são
,
, etc. Vamos testar
:
Não é raiz. Vamos tentar
:
Também não é raiz. Parece que não temos raízes racionais simples, então vamos precisar de métodos numéricos.
Passo 4
Vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes com a precisão desejada. Esse método usa uma aproximação inicial e refina essa aproximação iterativamente usando a fórmula:
Primeiro, precisamos da derivada da nossa função:
Passo 5
Escolhemos uma aproximação inicial próxima de onde a função muda de sinal. Observando a função, percebemos que para
,
e para
,
, então vamos tentar
:
Ainda negativo. Vamos tentar
:
Agora, mudou de negativo para positivo entre
e
. Vamos usar
como ponto de partida.
Passo 6
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 7
Agora, repetimos o processo com
:
Aplicando novamente:
Passo 8
Repetindo com
:
Aplicando:
Passo 9
Continuando com
:
Aplicando:
Passo 10
Repetimos com
:
Aplicando:
Passo 11
Após várias iterações, ajustamos nossa aproximação até que a mudança entre
e
seja menor que
. Após contínuas iterações do método de Newton-Raphson, obtemos as seguintes raízes aproximadas:
Resposta
As raízes da equação são aproximadamente:
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, através de diversos métodos.
Equação:
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Localizar graficamente as raízes reais das equações.
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