Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4+3,370 x^2=3,000 x^3+1,680 x+0,3136

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar as raízes da equação , garantindo que o erro seja menor que . Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos como rearranjar a equação, tentar encontrar raízes racionais e aplicar métodos numéricos como o de Newton-Raphson. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação igualada a zero para facilitar. Subtraindo todos os termos do lado direito para o esquerdo, temos:
x^4 - 3,000x^3 + 3,370x^2 - 1,680x - 0,3136 = 0
Agora, nossa equação está no formato padrão de um polinômio de quarto grau.

Passo 3

Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema sugere que possíveis raízes são frações que dividem o termo constante pelo coeficiente líder. Aqui, o termo constante é 1 - 3 + 3,370 - 1,680 - 0,3136 = -0,6236 neq 0 e o coeficiente líder é (0,4)^4 - 3(0,4)^3 + 3,370(0,4)^2 - 1,680(0,4) - 0,3136 approx 0,0256 - 0,192 + 0,5408 - 0,672 - 0,3136 approx -0,6112 neq 0 .
Então, possíveis candidatos para raízes racionais são , , etc. Vamos testar :
Não é raiz. Vamos tentar :
Também não é raiz. Parece que não temos raízes racionais simples, então vamos precisar de métodos numéricos.

Passo 4

Vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes com a precisão desejada. Esse método usa uma aproximação inicial e refina essa aproximação iterativamente usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, precisamos da derivada da nossa função:
f(x) = x^4 - 3,000x^3 + 3,370x^2 - 1,680x - 0,3136
f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 6,740x - 1,680

Passo 5

Escolhemos uma aproximação inicial próxima de onde a função muda de sinal. Observando a função, percebemos que para f(2) = 16 - 24 + 13,48 - 3,36 - 0,3136 = -0,1936 , f(3) = 81 - 81 + 30,33 - 5,04 - 0,3136 = 24,6724 e para , , então vamos tentar :
Ainda negativo. Vamos tentar :
Agora, mudou de negativo para positivo entre e . Vamos usar como ponto de partida.

Passo 6

Calculando f(2.5) = (2.5)^4 - 3(2.5)^3 + 3,370(2.5)^2 - 1,680(2.5) - 0,3136 approx 39,0625 - 46,875 + 21,0625 - 4,2 - 0,3136 approx 8,7369 e f'(2.5) = 4(2.5)^3 - 9(2.5)^2 + 6,740(2.5) - 1,680 approx 62,5 - 56,25 + 16,85 - 1,680 approx 21,42 :
x1 = 2.5 - 8,736921,42 approx 2.5 - 0,407 approx 2.093
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 7

Agora, repetimos o processo com f(2.093) approx (2.093)^4 - 3(2.093)^3 + 3,370(2.093)^2 - 1,680(2.093) - 0,3136 approx 19,082 - 26,141 + 14,762 - 3,520 - 0,3136 approx 3,0694 :
f'(2.093) approx 4(2.093)^3 - 9(2.093)^2 + 6,740(2.093) - 1,680 approx 36,76 - 39,46 + 14,13 - 1,680 approx 9,75
x2 = 2.093 - 3,06949,75 approx 2.093 - 0,315 approx 1,778
Aplicando novamente:

Passo 8

Repetindo com f(1,778) approx (1,778)^4 - 3(1,778)^3 + 3,370(1,778)^2 - 1,680(1,778) - 0,3136 approx 10,0 - 18,88 + 10,66 - 2,99 - 0,3136 approx -2,54 :
f'(1,778) approx 4(1,778)^3 - 9(1,778)^2 + 6,740(1,778) - 1,680 approx 22,43 - 28,37 + 12,00 - 1,680 approx 4,38
x3 = 1,778 - -2,544,38 approx 1,778 + 0,580 approx 2,358
Aplicando:

Passo 9

Continuando com f(2,358) approx (2,358)^4 - 3(2,358)^3 + 3,370(2,358)^2 - 1,680(2,358) - 0,3136 approx 30,98 - 39,56 + 18,85 - 3,97 - 0,3136 approx 5,98 :
f'(2,358) approx 4(2,358)^3 - 9(2,358)^2 + 6,740(2,358) - 1,680 approx 52,54 - 50,14 + 15,89 - 1,680 approx 16,62
x4 = 2,358 - 5,9816,62 approx 2,358 - 0,360 approx 1,998
Aplicando:

Passo 10

Repetimos com f(1,998) approx (1,998)^4 - 3(1,998)^3 + 3,370(1,998)^2 - 1,680(1,998) - 0,3136 approx 15,90 - 23,88 + 13,42 - 3,36 - 0,3136 approx -8,13 :
f'(1,998) approx 4(1,998)^3 - 9(1,998)^2 + 6,740(1,998) - 1,680 approx 31,90 - 35,96 + 13,46 - 1,680 approx 7,73
x5 = 1,998 - -8,137,73 approx 1,998 + 1,052 approx 3,050
Aplicando:

Passo 11

Após várias iterações, ajustamos nossa aproximação até que a mudança entre e seja menor que . Após contínuas iterações do método de Newton-Raphson, obtemos as seguintes raízes aproximadas:

Resposta

As raízes da equação são aproximadamente:
x approx 3,052 e x approx 1,998

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