Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar as raízes da equação , garantindo que o erro seja menor que . Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos como rearranjar a equação, tentar encontrar raízes racionais e aplicar métodos numéricos como o de Newton-Raphson. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação igualada a zero para facilitar. Subtraindo todos os termos do lado direito para o esquerdo, temos:
Agora, nossa equação está no formato padrão de um polinômio de quarto grau.

Passo 3

Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema sugere que possíveis raízes são frações que dividem o termo constante pelo coeficiente líder. Aqui, o termo constante é e o coeficiente líder é .
Então, possíveis candidatos para raízes racionais são , , etc. Vamos testar :
Não é raiz. Vamos tentar :
Também não é raiz. Parece que não temos raízes racionais simples, então vamos precisar de métodos numéricos.

Passo 4

Vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes com a precisão desejada. Esse método usa uma aproximação inicial e refina essa aproximação iterativamente usando a fórmula:
Primeiro, precisamos da derivada da nossa função:

Passo 5

Escolhemos uma aproximação inicial próxima de onde a função muda de sinal. Observando a função, percebemos que para , e para , , então vamos tentar :
Ainda negativo. Vamos tentar :
Agora, mudou de negativo para positivo entre e . Vamos usar como ponto de partida.

Passo 6

Calculando e :
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 7

Agora, repetimos o processo com :
Aplicando novamente:

Passo 8

Repetindo com :
Aplicando:

Passo 9

Continuando com :
Aplicando:

Passo 10

Repetimos com :
Aplicando:

Passo 11

Após várias iterações, ajustamos nossa aproximação até que a mudança entre e seja menor que . Após contínuas iterações do método de Newton-Raphson, obtemos as seguintes raízes aproximadas:

Resposta

As raízes da equação são aproximadamente:

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