Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre encontrar raízes de equações polinomiais de quarto grau, utilizando métodos numéricos que garantem um erro menor que
. Para isso, vamos precisar de alguns métodos como o Método de Newton-Raphson, o Método da Bissecção e o Método da Falsa Posição.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Agora temos uma equação polinomial de quarto grau. Para encontrar as raízes, ou seja, os valores de
que satisfazem essa equação, vamos utilizar os métodos numéricos mencionados.
Passo 3
Método de Newton-Raphson
Esse método é iterativo e utiliza a derivada da função para aproximar as raízes. A fórmula geral é:
Primeiro, calculamos a derivada da função
:
Escolhemos um palpite inicial próximo da raiz que queremos encontrar e aplicamos a fórmula até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Exemplo de cálculo:
Suponha que estamos buscando uma raiz próxima a
.
Aqui vemos que
, o que não é viável para o método. Então, escolhemos outro palpite, por exemplo,
.
Continuamos esse processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.
Passo 4
Método da Bissecção
Esse método divide o intervalo onde a raiz está localizada pela metade a cada iteração, garantindo que a raiz esteja dentro do novo intervalo. A condição para aplicar esse método é que a função deve ter valores de sinais opostos nos extremos do intervalo.
Passos:
- Escolha um intervalo
onde e tenham sinais opostos. - Calcule o ponto médio
. - Verifique o sinal de
: - Se
tem o mesmo sinal que , então a raiz está em . - Caso contrário, está em
.
- Se
- Repita o processo até que a largura do intervalo seja menor que
.
Exemplo de aplicação:
Vamos considerar o intervalo
.
Aqui ambos os valores são positivos, então precisamos escolher outro intervalo, por exemplo,
.
Ainda, ambos negativos. Vamos tentar
.
Agora sim, sinais opostos. Aplicamos a bissecção nesse intervalo até encontrar a raiz com a precisão desejada.
Passo 5
Método da Falsa Posição
Esse método é semelhante ao da bissecção, mas ao invés de usar o ponto médio, ele usa a interseção da linha secante com o eixo
para aproximar a raiz.
Passos:
- Escolha um intervalo
onde e tenham sinais opostos. - Calcule o ponto de interseção
usando:
- Verifique o sinal de
: - Se
, é a raiz. - Se
tem o mesmo sinal que , a raiz está em . - Caso contrário, está em
.
- Se
- Repita o processo até que a diferença seja menor que
.
Exemplo de aplicação:
Usando o intervalo
:
-
- Calculamos
e verificamos o sinal para ajustar o intervalo. - Continuamos iterando até alcançar a precisão desejada.
Resposta
As raízes da equação
, com erro menor que
, são aproximadamente:
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