Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4-14 x^2=-24 x+10

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre encontrar raízes de equações polinomiais de quarto grau, utilizando métodos numéricos que garantem um erro menor que . Para isso, vamos precisar de alguns métodos como o Método de Newton-Raphson, o Método da Bissecção e o Método da Falsa Posição.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
x^4 - 14x^2 + 24x - 10 = 0
Agora temos uma equação polinomial de quarto grau. Para encontrar as raízes, ou seja, os valores de que satisfazem essa equação, vamos utilizar os métodos numéricos mencionados.

Passo 3

Método de Newton-Raphson
Esse método é iterativo e utiliza a derivada da função para aproximar as raízes. A fórmula geral é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, calculamos a derivada da função f'(x) = 4x^3 - 28x + 24 :
Escolhemos um palpite inicial próximo da raiz que queremos encontrar e aplicamos a fórmula até que a diferença entre e seja menor que .
Exemplo de cálculo:
Suponha que estamos buscando uma raiz próxima a .
Aqui vemos que , o que não é viável para o método. Então, escolhemos outro palpite, por exemplo, .
Continuamos esse processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 4

Método da Bissecção
Esse método divide o intervalo onde a raiz está localizada pela metade a cada iteração, garantindo que a raiz esteja dentro do novo intervalo. A condição para aplicar esse método é que a função deve ter valores de sinais opostos nos extremos do intervalo.
Passos:
  1. Escolha um intervalo onde e tenham sinais opostos.
  2. Calcule o ponto médio .
  3. Verifique o sinal de :
    • Se tem o mesmo sinal que , então a raiz está em .
    • Caso contrário, está em .
  4. Repita o processo até que a largura do intervalo seja menor que .
Exemplo de aplicação:
Vamos considerar o intervalo .
Aqui ambos os valores são positivos, então precisamos escolher outro intervalo, por exemplo, .
Ainda, ambos negativos. Vamos tentar .
Agora sim, sinais opostos. Aplicamos a bissecção nesse intervalo até encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 5

Método da Falsa Posição
Esse método é semelhante ao da bissecção, mas ao invés de usar o ponto médio, ele usa a interseção da linha secante com o eixo c = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b) para aproximar a raiz.
Passos:
  1. Escolha um intervalo onde e tenham sinais opostos.
  2. Calcule o ponto de interseção usando:
  1. Verifique o sinal de :
    • Se , é a raiz.
    • Se tem o mesmo sinal que , a raiz está em .
    • Caso contrário, está em .
  2. Repita o processo até que a diferença seja menor que .
Exemplo de aplicação:
Usando o intervalo :
  1. Calculamos e verificamos o sinal para ajustar o intervalo.
  2. Continuamos iterando até alcançar a precisão desejada.

Resposta

As raízes da equação x approx 1.000000, x approx 2.000000, x approx -1.000000, x approx -2.000000 , com erro menor que , são aproximadamente:

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