Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções trigonométricas e exponenciais, além de métodos numéricos para localizar as raízes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Aqui, temos uma função trigonométrica ( ) e uma função exponencial ( ). Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas funções se intersectam, ou seja, onde seus valores são iguais.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento das duas funções:
  1. Função Trigonométrica ( ):
    • O cosseno varia entre -1 e 1.
    • Portanto, varia entre -4 e 4.
    • Essa função é periódica com período .
  2. Função Exponencial ( ):
    • Sempre positiva.
    • Cresce rapidamente conforme aumenta.
    • Decresce rapidamente conforme diminui.

Passo 4

Como é sempre positiva e varia entre -4 e 4, estamos interessados nos intervalos onde é positivo, ou seja, onde . Isso ocorre nos intervalos:
onde é um número inteiro.

Passo 5

Vamos procurar soluções dentro do primeiro intervalo positivo, por exemplo, . Nesse intervalo:
  • começa em 4 quando e decresce até 0 quando .
  • começa em 1 quando e cresce até quando .
Como está decrescendo e está crescendo, haverá exatamente um ponto onde elas se igualam.

Passo 6

Para encontrar o valor aproximado de , podemos usar o método de iterações ou a fórmula de Newton-Raphson. Aqui, vamos usar uma abordagem iterativa simples:
  1. Escolhemos um valor inicial, por exemplo, .
  2. Calculamos .
  3. Ajustamos até que se aproxime de zero.
Vamos tentar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Percebemos que muda de positivo para negativo entre e , indicando que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 7

Vamos refinar a busca:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, sabemos que a raiz está entre e .

Passo 8

Para maior precisão, podemos calcular uma média:
Verificando:
Isso indica que a raiz está muito próxima de .

Resposta

A raiz da equação está aproximadamente em radianos. Além disso, em pequenos intervalos próximos a essa solução, o zero é único.

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Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.