Localize as raízes das equações a seguir: 4 cos (x)-e^2 x=0
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções trigonométricas e exponenciais, além de métodos numéricos para localizar as raízes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
4 cos(x) = e^2x
Aqui, temos uma função trigonométrica ( ) e uma função exponencial ( ). Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas funções se intersectam, ou seja, onde seus valores são iguais.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento das duas funções:
  1. Função Trigonométrica ( ):
    • O cosseno varia entre -1 e 1.
    • Portanto, varia entre -4 e 4.
    • Essa função é periódica com período .
  2. Função Exponencial ( ):
    • Sempre positiva.
    • Cresce rapidamente conforme aumenta.
    • Decresce rapidamente conforme diminui.

Passo 4

Como ( -pi2 + 2kpi, pi2 + 2kpi ) é sempre positiva e varia entre -4 e 4, estamos interessados nos intervalos onde é positivo, ou seja, onde . Isso ocorre nos intervalos:
onde é um número inteiro.

Passo 5

Vamos procurar soluções dentro do primeiro intervalo positivo, por exemplo, . Nesse intervalo:
  • começa em 4 quando e decresce até 0 quando .
  • começa em 1 quando e cresce até quando .
Como está decrescendo e está crescendo, haverá exatamente um ponto onde elas se igualam.

Passo 6

Para encontrar o valor aproximado de f(0) = 4 cos(0) - e^0 = 4 times 1 - 1 = 3 > 0 , podemos usar o método de iterações ou a fórmula de Newton-Raphson. Aqui, vamos usar uma abordagem iterativa simples:
  1. Escolhemos um valor inicial, por exemplo, f(0.5) = 4 cos(0.5) - e^1 approx 4 times 0.8776 - 2.7183 approx 3.5104 - 2.7183 = 0.7921 > 0 .
  2. Calculamos f(1) = 4 cos(1) - e^2 approx 4 times 0.5403 - 7.3891 approx 2.1612 - 7.3891 = -5.2279 < 0 .
  3. Ajustamos até que se aproxime de zero.
Vamos tentar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Percebemos que muda de positivo para negativo entre e , indicando que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 7

Vamos refinar a busca:
  • Para f(0.6) = 4 cos(0.6) - e^1.2 approx 4 times 0.8253 - 3.3201 approx 3.3012 - 3.3201 = -0.0189 < 0 :
    f(0.55) = 4 cos(0.55) - e^1.1 approx 4 times 0.8505 - 3.0042 approx 3.402 - 3.0042 = 0.3978 > 0
  • Para f(0.575) = 4 cos(0.575) - e^1.15 approx 4 times 0.8387 - 3.1591 approx 3.3548 - 3.1591 = 0.1957 > 0 :
    f(0.58) = 4 cos(0.58) - e^1.16 approx 4 times 0.8356 - 3.1883 approx 3.3424 - 3.1883 = 0.1541 > 0
  • Para f(0.59) = 4 cos(0.59) - e^1.18 approx 4 times 0.8309 - 3.2550 approx 3.3236 - 3.2550 = 0.0686 > 0 :
    f(0.595) = 4 cos(0.595) - e^1.19 approx 4 times 0.8281 - 3.2799 approx 3.3124 - 3.2799 = 0.0325 > 0
  • Para f(0.598) = 4 cos(0.598) - e^1.196 approx 4 times 0.8263 - 3.3002 approx 3.3052 - 3.3002 = 0.0050 > 0 :
    f(0.599) = 4 cos(0.599) - e^1.198 approx 4 times 0.8255 - 3.3074 approx 3.3020 - 3.3074 = -0.0054 < 0
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, sabemos que a raiz está entre e .

Passo 8

Para maior precisão, podemos calcular uma média:
x approx 0.5985
Verificando:
f(0.5985) approx 4 cos(0.5985) - e^1.197 approx 3.3015 - 3.3039 approx -0.0024
Isso indica que a raiz está muito próxima de .

Resposta

A raiz da equação está aproximadamente em radianos. Além disso, em pequenos intervalos próximos a essa solução, o zero é único.

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