Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções trigonométricas e exponenciais, além de métodos numéricos para localizar as raízes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Aqui, temos uma função trigonométrica (
) e uma função exponencial (
). Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas funções se intersectam, ou seja, onde seus valores são iguais.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento das duas funções:
-
Função Trigonométrica (
): - O cosseno varia entre -1 e 1.
- Portanto,
varia entre -4 e 4. - Essa função é periódica com período
.
-
Função Exponencial (
): - Sempre positiva.
- Cresce rapidamente conforme
aumenta. - Decresce rapidamente conforme
diminui.
Passo 4
Como
é sempre positiva e
varia entre -4 e 4, estamos interessados nos intervalos onde
é positivo, ou seja, onde
. Isso ocorre nos intervalos:
onde
é um número inteiro.
Passo 5
Vamos procurar soluções dentro do primeiro intervalo positivo, por exemplo,
. Nesse intervalo:
-
começa em 4 quando e decresce até 0 quando . -
começa em 1 quando e cresce até quando .
Como
está decrescendo e
está crescendo, haverá exatamente um ponto onde elas se igualam.
Passo 6
Para encontrar o valor aproximado de
, podemos usar o método de iterações ou a fórmula de Newton-Raphson. Aqui, vamos usar uma abordagem iterativa simples:
- Escolhemos um valor inicial, por exemplo,
. - Calculamos
. - Ajustamos
até que se aproxime de zero.
Vamos tentar alguns valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Percebemos que
muda de positivo para negativo entre
e
, indicando que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 7
Vamos refinar a busca:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Agora, sabemos que a raiz está entre
e
.
Passo 8
Para maior precisão, podemos calcular uma média:
Verificando:
Isso indica que a raiz está muito próxima de
.
Resposta
A raiz da equação
está aproximadamente em
radianos. Além disso, em pequenos intervalos próximos a essa solução, o zero é único.
Exercícios relacionados
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
As raízes de
podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Considerando os processo iterativos:
a)
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.