Uma maneira de endurecer a superficie de um aço (ou liga ferro-carbono) a niveis superiores ao do seu interior é aumentando a concentração de carbono na superficie por meio de um processo denominado cementaçào. A peça de aço é exposta, em uma temperatura elevada, a uma atmosfera rica em um hidrocarboneto gasoso, tal como o propano
.
Considere uma dessas ligas contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de
p.C, que deve ser tratada a
. Se a concentração de carbono na superficie for repentinamente elevada e mantida em
p.C, quanto tempo será necessário para atingir um teor de carbono de
p.C em uma posição
abaixo da superfícic? O coeficiente de difusâo para o carbono no ferro nessa temperatura é de
; considere que a peça de aço seja semi-infinita.
Considere a equação para a resolução da segunda lei de Fick:
Dado:
Tabela 1 - Tabulação de valores para função erro
7
erfic)
7
eff(i)
2
eff(i)
0
0
0.55
0.5673
1,3
0.9340
0,025
0,0282
0.60
0.6039
1,4
0,9523
0,05
0,0564
0,65
0.6420
1.5
0,9661
0,10
0,1125
0.70
0.6778
1,6
0.9763
0.15
0.1650
0.75
0,7112
1,7
0,9838
0.20
0,227
0.80
0,7421
1.8
0.9891
0.35
0,7763
0.85
0,7707
1.9
0.9928
0.30
0,3286
0.90
0,7970
2,0
0.9953
035
03794
0.95
0,8209
2.2
0,9981
0.40
0.4284
1,0
0,8427
2.4
0,9993
0.45
0.4755
1.1
0.8502
2.6
0.9998
0.50
0.5205
12.
0.9103
2.8
0.9999
Considere uma dessas ligas contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de
Considere a equação para a resolução da segunda lei de Fick:
Dado:
Tabela 1 - Tabulação de valores para função erro
7 | erfic) | 7 | eff(i) | 2 | eff(i) |
0 | 0 | 0.55 | 0.5673 | 1,3 | 0.9340 |
0,025 | 0,0282 | 0.60 | 0.6039 | 1,4 | 0,9523 |
0,05 | 0,0564 | 0,65 | 0.6420 | 1.5 | 0,9661 |
0,10 | 0,1125 | 0.70 | 0.6778 | 1,6 | 0.9763 |
0.15 | 0.1650 | 0.75 | 0,7112 | 1,7 | 0,9838 |
0.20 | 0,227 | 0.80 | 0,7421 | 1.8 | 0.9891 |
0.35 | 0,7763 | 0.85 | 0,7707 | 1.9 | 0.9928 |
0.30 | 0,3286 | 0.90 | 0,7970 | 2,0 | 0.9953 |
035 | 03794 | 0.95 | 0,8209 | 2.2 | 0,9981 |
0.40 | 0.4284 | 1,0 | 0,8427 | 2.4 | 0,9993 |
0.45 | 0.4755 | 1.1 | 0.8502 | 2.6 | 0.9998 |
0.50 | 0.5205 | 12. | 0.9103 | 2.8 | 0.9999 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver um problema sobre cementação de aço, que é um processo usado para endurecer a superfície do aço aumentando a concentração de carbono na superfície. No nosso caso, a liga de aço começa com 0,25% de carbono e precisamos saber quanto tempo leva para que, a uma profundidade de 0,4 mm abaixo da superfície, a concentração de carbono chegue a 0,90%. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Fick, que descreve como as partículas, como o carbono, difundem-se em um material ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos e os que precisamos encontrar. Sabemos:
- Concentração inicial, $ C_0 = 0,25% $ p.C
- Concentração na superfície, $ C_s = 1,70% $ p.C
- Concentração desejada a 0,4 mm, $ C_x = 0,90% $ p.C
- Profundidade, $ x = 0,4 $ mm = $ 0,0004 $ m
- Coeficiente de difusão, $ D = 1,6 \times 10^{-11} $ m²/s
Queremos encontrar o tempo $ t $.
Passo 3
Vamos usar a equação da segunda lei de Fick que relaciona essas variáveis:
Primeiro, vamos isolar a função erro ($ \operatorname{erf} $):
Passo 4
Calculando os valores numéricos para o lado esquerdo da equação:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor cujo erro função ($ \operatorname{erf} $) é igual a 0,5517. Olhando na Tabela 1 fornecida:
- Para $ \operatorname{erf}(0,55) = 0,5673 $
- Para $ \operatorname{erf}(0,50) = 0,5205 $
Nosso valor 0,5517 está entre 0,50 e 0,55. Vamos interpolar para encontrar um valor aproximado de $ \frac{x}{2 \sqrt{D t}} $.
Passo 6
Calculando a média aproximada:
Diferença entre 0,5517 e 0,5205: $ 0,5517 - 0,5205 = 0,0312 $
Diferença entre 0,5205 e 0,5673: $ 0,5673 - 0,5205 = 0,0468 $
Proporção: $ \frac{0,0312}{0,0468} \approx 0,6667 $
Então, $ \frac{x}{2 \sqrt{D t}} \approx 0,50 + 0,6667 \times 0,05 = 0,5333 $
(Note que cada incremento de 0,05 na coluna de x corresponde a aproximadamente um incremento de 0,05 na função erro.)
Passo 7
Agora, temos:
Vamos resolver para $ t $:
Substituindo os valores:
Passo 8
Calculando passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
Agora, a razão:
Elevando ao quadrado:
Finalmente, multiplicando por $ \frac{1}{D} $:
Passo 9
Convertendo segundos para horas:
Resposta
O tempo necessário para que o teor de carbono atinja 0,90 % p.C a uma profundidade de 0,4 mm abaixo da superfície é aproximadamente 2,44 horas.