Uma maneira de endurecer a superficie de um aço (ou liga ferro-carbono) a niveis superiores ao do seu interior é aumentando a concentração de carbono na superficie por meio de um processo denominado cementaçào. A peça de aço é exposta, em uma temperatura elevada, a uma atmosfera rica em um hidrocarboneto gasoso, tal como o propano (C3 H8(g).
Considere uma dessas ligas contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de 0,25 % p.C, que deve ser tratada a 1200^circ C. Se a concentração de carbono na superficie for repentinamente elevada e mantida em 1,70 % p.C, quanto tempo será necessário para atingir um teor de carbono de 0,90 % p.C em uma posição 0,4 mm abaixo da superfícic? O coeficiente de difusâo para o carbono no ferro nessa temperatura é de 1,6 times 10^-11 m^2 / s; considere que a peça de aço seja semi-infinita.
Considere a equação para a resolução da segunda lei de Fick: Cx-C0C5-C0=1-erf(x2 raizD t)
Dado:
Tabela 1 - Tabulação de valores para função erro
7 erfic) 7 eff(i) 2 eff(i)
0 0 0.55 0.5673 1,3 0.9340
0,025 0,0282 0.60 0.6039 1,4 0,9523
0,05 0,0564 0,65 0.6420 1.5 0,9661
0,10 0,1125 0.70 0.6778 1,6 0.9763
0.15 0.1650 0.75 0,7112 1,7 0,9838
0.20 0,227 0.80 0,7421 1.8 0.9891
0.35 0,7763 0.85 0,7707 1.9 0.9928
0.30 0,3286 0.90 0,7970 2,0 0.9953
035 03794 0.95 0,8209 2.2 0,9981
0.40 0.4284 1,0 0,8427 2.4 0,9993
0.45 0.4755 1.1 0.8502 2.6 0.9998
0.50 0.5205 12. 0.9103 2.8 0.9999

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver um problema sobre cementação de aço, que é um processo usado para endurecer a superfície do aço aumentando a concentração de carbono na superfície. No nosso caso, a liga de aço começa com 0,25% de carbono e precisamos saber quanto tempo leva para que, a uma profundidade de 0,4 mm abaixo da superfície, a concentração de carbono chegue a 0,90%. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Fick, que descreve como as partículas, como o carbono, difundem-se em um material ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos e os que precisamos encontrar. Sabemos:
  • Concentração inicial, $ C_0 = 0,25% $ p.C
  • Concentração na superfície, $ C_s = 1,70% $ p.C
  • Concentração desejada a 0,4 mm, $ C_x = 0,90% $ p.C
  • Profundidade, $ x = 0,4 $ mm = $ 0,0004 $ m
  • Coeficiente de difusão, $ D = 1,6 \times 10^{-11} $ m²/s
Queremos encontrar o tempo $ t $.

Passo 3

Vamos usar a equação da segunda lei de Fick que relaciona essas variáveis:
Cx - C0Cs - C0 = 1 - erf(x2 raizD t)
Primeiro, vamos isolar a função erro ($ \operatorname{erf} $):
erf

Passo 4

Calculando os valores numéricos para o lado esquerdo da equação:
Cx - C0Cs - C0 = 0,90% - 0,25%1,70% - 0,25% = 0,651,45 approx 0,4483
Então,
1 - 0,4483 = erf(x2 raizD t)
0,5517 = erf(x2 raizD t)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor cujo erro função ($ \operatorname{erf} $) é igual a 0,5517. Olhando na Tabela 1 fornecida:
  • Para $ \operatorname{erf}(0,55) = 0,5673 $
  • Para $ \operatorname{erf}(0,50) = 0,5205 $
Nosso valor 0,5517 está entre 0,50 e 0,55. Vamos interpolar para encontrar um valor aproximado de $ \frac{x}{2 \sqrt{D t}} $.

Passo 6

Calculando a média aproximada:
Diferença entre 0,5517 e 0,5205: $ 0,5517 - 0,5205 = 0,0312 $
Diferença entre 0,5205 e 0,5673: $ 0,5673 - 0,5205 = 0,0468 $
Proporção: $ \frac{0,0312}{0,0468} \approx 0,6667 $
Então, $ \frac{x}{2 \sqrt{D t}} \approx 0,50 + 0,6667 \times 0,05 = 0,5333 $
(Note que cada incremento de 0,05 na coluna de x corresponde a aproximadamente um incremento de 0,05 na função erro.)

Passo 7

Agora, temos:
x2 raizD t approx 0,5333
Vamos resolver para $ t $:
t
Substituindo os valores:
t = ( x2 times 0,5333 )^2 times 1D

Passo 8

Calculando passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
2 times 0,5333 = 1,0666
Agora, a razão:
0,00041,0666 approx 0,000375 , m
Elevando ao quadrado:
(0,000375)^2 = 1,40625 times 10^-7 , m^2
Finalmente, multiplicando por $ \frac{1}{D} $:
1D

Passo 9

Convertendo segundos para horas:
8781,25 , s div 3600 approx 2,44 , horas

Resposta

O tempo necessário para que o teor de carbono atinja 0,90 % p.C a uma profundidade de 0,4 mm abaixo da superfície é aproximadamente 2,44 horas.

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