A massa de uma cultura de bactéria viáveis tem seu crescimento representado pela função
( t medido em horas e
medido em
) sendo p uma constante positiva. Calcule a velocidade de crescimento da cultura quando
horas. 0 que representa o ponto que
? E para os valores de t onde
e
o que estaria sucedendo com essa massa bacteriana? Sugestão esboce o gráfico
e algumas tangentes a curva dentro das condições acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento de uma cultura de bactérias, que é descrito pela função
, onde
é o tempo em horas e
a massa em
. A gente precisa calcular a velocidade de crescimento dessa cultura quando
horas. Também tem umas perguntas sobre quando
e o que acontece com a massa quando
e
. Para resolver isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, para achar a velocidade de crescimento, que é a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
. Vamos derivar cada termo da função:
A derivada de
em relação a
é 0, já que é uma constante. A derivada de
é 60, e a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade de crescimento quando
horas. Substituímos 6 na expressão de
:
Isso significa que, às 6 horas, a massa da cultura está crescendo a uma taxa de
.
Passo 4
A seguir, vamos descobrir quando
. Isso indica os momentos em que a taxa de crescimento é zero, ou seja, a massa não está aumentando nem diminuindo naquele instante.
Então,
horas é o ponto onde a velocidade de crescimento é zero.
Passo 5
Agora, vamos analisar para que valores de
temos
e
.
Primeiro,
:
Quando
, a derivada é negativa, ou seja, a massa está diminuindo.
Agora,
:
Como
é uma constante positiva, para valores de
que não façam
superar
, a massa permanece positiva.
Passo 6
Resumindo o que descobrimos:
-
Quando
horas, a velocidade de crescimento é . -
O ponto onde
é em horas. Este é o momento em que a cultura para de crescer e começa a diminuir. -
Para
horas, e , o que significa que a massa da bactéria está diminuindo, mas ainda está presente.
Resposta
A velocidade de crescimento da cultura quando
horas é
. O ponto onde
ocorre em
horas. Para valores de
horas,
e
, indicando que a massa bacteriana está diminuindo.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Calcule
em que
é igual a
Determine
e
.
A quantidade de bactérias presentes numa cultura controlada, no instante
(horas), pode ser calculada pela equação
.
Qual a quantidade inicial de bactérias?
Qual a quantidade inicial de bactérias?