A massa de uma cultura de bactéria viáveis tem seu crescimento representado pela função ( t medido em horas e medido em ) sendo p uma constante positiva. Calcule a velocidade de crescimento da cultura quando horas. 0 que representa o ponto que ? E para os valores de t onde e o que estaria sucedendo com essa massa bacteriana? Sugestão esboce o gráfico e algumas tangentes a curva dentro das condições acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o crescimento de uma cultura de bactérias, que é descrito pela função , onde é o tempo em horas e a massa em . A gente precisa calcular a velocidade de crescimento dessa cultura quando horas. Também tem umas perguntas sobre quando e o que acontece com a massa quando e . Para resolver isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, para achar a velocidade de crescimento, que é a derivada de em relação ao tempo , ou seja, . Vamos derivar cada termo da função:
A derivada de em relação a é 0, já que é uma constante. A derivada de é 60, e a derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade de crescimento quando horas. Substituímos 6 na expressão de :
Isso significa que, às 6 horas, a massa da cultura está crescendo a uma taxa de .

Passo 4

A seguir, vamos descobrir quando . Isso indica os momentos em que a taxa de crescimento é zero, ou seja, a massa não está aumentando nem diminuindo naquele instante.
Então, horas é o ponto onde a velocidade de crescimento é zero.

Passo 5

Agora, vamos analisar para que valores de temos e .
Primeiro, :
Quando , a derivada é negativa, ou seja, a massa está diminuindo.
Agora, :
Como é uma constante positiva, para valores de que não façam superar , a massa permanece positiva.

Passo 6

Resumindo o que descobrimos:
  • Quando horas, a velocidade de crescimento é .
  • O ponto onde é em horas. Este é o momento em que a cultura para de crescer e começa a diminuir.
  • Para horas, e , o que significa que a massa da bactéria está diminuindo, mas ainda está presente.

Resposta

A velocidade de crescimento da cultura quando horas é . O ponto onde ocorre em horas. Para valores de horas, e , indicando que a massa bacteriana está diminuindo.

Exercícios relacionados

Determine e .
Calcule em que é igual a
Determine e .
A quantidade de bactérias presentes numa cultura controlada, no instante (horas), pode ser calculada pela equação .
Qual a quantidade inicial de bactérias?