Proponha uma condição inicial para aplicar as duas primeiras iterações dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para propor uma condição inicial e aplicar as duas primeiras iterações dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema de equações dado. Vamos precisar entender um pouquinho sobre esses métodos iterativos e como aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema de equações que temos:
Para aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, precisamos reescrever cada equação de forma que uma das variáveis fique isolada no lado esquerdo e as demais no lado direito.

Passo 3

Vamos isolar as variáveis:
  1. Da primeira equação, isolamos :
  1. Da segunda equação, isolamos :
  1. Da terceira equação, isolamos :

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma condição inicial, ou seja, valores iniciais para e . Uma escolha comum é começar com todos os valores iguais a zero:

Passo 5

Vamos aplicar a primeira iteração do método de Gauss-Jacobi. Nesse método, usamos os valores da condição inicial para calcular os próximos valores.
Usando :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Então, após a primeira iteração:

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda iteração do Gauss-Jacobi usando :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Após a segunda iteração:

Passo 7

Já fizemos as duas iterações do método de Gauss-Jacobi. Para o método de Gauss-Seidel, o processo é semelhante, mas usamos os valores atualizados imediatamente após cada cálculo dentro da iteração.
Primeira iteração (Gauss-Seidel):
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Calcular
Segunda iteração (Gauss-Seidel):
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Calcular
Após duas iterações do Gauss-Seidel:

Resposta

A condição inicial proposta é . Após aplicar as duas primeiras iterações:
  • Gauss-Jacobi:
  • Gauss-Seidel:

Exercícios relacionados

Mostre que a as sequências abaixo convergem linearmente para . Calcule o valor de tal que
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Uma matriz é definida positiva se existe o vetor de variáveis tal que . Supondo que , mostre que, se e , a matriz
é definida positiva, independentemente do valor de .
Aplique o método de Newton para calcular as duas primeiras iterações do sistema de equações não-lineares