Proponha uma condição inicial para aplicar as duas primeiras iterações dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para propor uma condição inicial e aplicar as duas primeiras iterações dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema de equações dado. Vamos precisar entender um pouquinho sobre esses métodos iterativos e como aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema de equações que temos:
Para aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, precisamos reescrever cada equação de forma que uma das variáveis fique isolada no lado esquerdo e as demais no lado direito.
Passo 3
Vamos isolar as variáveis:
Da primeira equação, isolamos :
Da segunda equação, isolamos :
Da terceira equação, isolamos :
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma condição inicial, ou seja, valores iniciais para e . Uma escolha comum é começar com todos os valores iguais a zero:
Passo 5
Vamos aplicar a primeira iteração do método de Gauss-Jacobi. Nesse método, usamos os valores da condição inicial para calcular os próximos valores.
Usando :
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Então, após a primeira iteração:
Passo 6
Agora, aplicamos a segunda iteração do Gauss-Jacobi usando :
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Após a segunda iteração:
Passo 7
Já fizemos as duas iterações do método de Gauss-Jacobi. Para o método de Gauss-Seidel, o processo é semelhante, mas usamos os valores atualizados imediatamente após cada cálculo dentro da iteração.
Primeira iteração (Gauss-Seidel):
Calcular
Calcular
Calcular
Segunda iteração (Gauss-Seidel):
Calcular
Calcular
Calcular
Após duas iterações do Gauss-Seidel:
Resposta
A condição inicial proposta é . Após aplicar as duas primeiras iterações: