Proponha uma condição inicial para aplicar as duas primeiras iterações dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema
x1-2 x3 & =0.2 12 x1+x2-14 x3 & =-1.425 x1-12 x2+x3 & =2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para propor uma condição inicial e aplicar as duas primeiras iterações dos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema de equações dado. Vamos precisar entender um pouquinho sobre esses métodos iterativos e como aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema de equações que temos:
x1 - 2x3 &= 0.2 12x1 + x2 - 14x3 &= -1.425 x1 - 12x2 + x3 &= 2
Para aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, precisamos reescrever cada equação de forma que uma das variáveis fique isolada no lado esquerdo e as demais no lado direito.

Passo 3

Vamos isolar as variáveis:
  1. Da primeira equação, isolamos x1 = 2x3 + 0.2 :
x2 = -12x1 + 14x3 - 1.425
  1. Da segunda equação, isolamos x3 = -x1 + 12x2 + 2 :
  1. Da terceira equação, isolamos :

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma condição inicial, ou seja, valores iniciais para x^(0) = 0 0 0 e . Uma escolha comum é começar com todos os valores iguais a zero:

Passo 5

Vamos aplicar a primeira iteração do método de Gauss-Jacobi. Nesse método, usamos os valores da condição inicial para calcular os próximos valores.
Usando x1^(1) = 2(0) + 0.2 = 0.2 :
  1. Calcular x2^(1) = -12(0) + 14(0) - 1.425 = -1.425 :
x3^(1) = -(0) + 12(0) + 2 = 2
  1. Calcular x^(1) = 0.2 -1.425 2 :
  1. Calcular :
Então, após a primeira iteração:

Passo 6

Agora, aplicamos a segunda iteração do Gauss-Jacobi usando x1^(2) = 2(2) + 0.2 = 4.2 :
  1. Calcular x2^(2) = -12(0.2) + 14(2) - 1.425 = -0.1 + 0.5 - 1.425 = -1.025 :
x3^(2) = -(0.2) + 12(-1.425) + 2 = -0.2 - 0.7125 + 2 = 1.0875
  1. Calcular x^(2) = 4.2 -1.025 1.0875 :
  1. Calcular :
Após a segunda iteração:

Passo 7

Já fizemos as duas iterações do método de Gauss-Jacobi. Para o método de Gauss-Seidel, o processo é semelhante, mas usamos os valores atualizados imediatamente após cada cálculo dentro da iteração.
Primeira iteração (Gauss-Seidel):
  1. Calcular x^(2) = 2.275 -2.303125 -1.4265625
  2. Calcular
  3. Calcular
Segunda iteração (Gauss-Seidel):
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Calcular
Após duas iterações do Gauss-Seidel:

Resposta

A condição inicial proposta é 0 0 0 . Após aplicar as duas primeiras iterações:
  • Gauss-Jacobi:
    x^(2) = 4.2 -1.025 1.0875
  • Gauss-Seidel:
    x^(2) = 2.275 -2.303125 -1.4265625

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