Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função miligramas por mililitro, horas depois de terem sido injetadas no paciente unidades. A concentração máxima de segurança é de . Uma quantidade adicional desse medicamento deve ser administrada ao paciente quando a concentração cai para . Determine, até o minuto mais próximo, quando essa segunda injeção deve ser aplicada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um medicamento que, quando administrado, gera uma concentração no sangue descrita pela função miligramas por mililitro, onde é o tempo em horas após a injeção de unidades do medicamento. A concentração máxima segura é de . Precisamos descobrir, até o minuto mais próximo, quando devemos aplicar uma segunda dose, que deve ser dada quando a concentração cair para .
Vamos usar conceitos de funções exponenciais e resolução de equações para encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da concentração:
Queremos encontrar o tempo em que . Então, substituímos na equação:

Passo 3

Agora, precisamos isolar :
No entanto, percebemos que não temos o valor de fornecido diretamente na questão. Assumindo que a concentração máxima segura de ocorre no tempo inicial ( ), podemos encontrar substituindo na função :
Como a concentração máxima segura é , temos:

Passo 4

Com , nossa equação fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação:
Essa é uma equação transcendental e não possui solução algébrica simples. Portanto, usaremos métodos numéricos para encontrar .

Passo 6

Vamos resolver a equação numericamente. Uma maneira comum de fazer isso é através de tentativa e erro ou usando uma calculadora científica.
Vamos tentar alguns valores de para encontrar quando a equação se aproxima de 0,75.
  • Para hora:
  • Para hora:
Estamos perto de 0,75. Vamos refinar mais:
  • Para hora:
  • Para hora:
  • Para hora:

Passo 7

Vimos que para horas, a expressão é aproximadamente , que está bem próxima de .

Passo 8

Agora, convertendo horas para minutos:
Arredondando para o minuto mais próximo, temos minutos.

Resposta

A segunda injeção deve ser aplicada aproximadamente após 65 minutos.

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(b)
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(e) para ;