Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função
miligramas por mililitro,
horas depois de terem sido injetadas no paciente
unidades. A concentração máxima de segurança é de
. Uma quantidade adicional desse medicamento deve ser administrada ao paciente quando a concentração cai para
. Determine, até o minuto mais próximo, quando essa segunda injeção deve ser aplicada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um medicamento que, quando administrado, gera uma concentração no sangue descrita pela função
miligramas por mililitro, onde
é o tempo em horas após a injeção de
unidades do medicamento. A concentração máxima segura é de
. Precisamos descobrir, até o minuto mais próximo, quando devemos aplicar uma segunda dose, que deve ser dada quando a concentração cair para
.
Vamos usar conceitos de funções exponenciais e resolução de equações para encontrar o valor de
que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da concentração:
Queremos encontrar o tempo
em que
. Então, substituímos na equação:
Passo 3
Agora, precisamos isolar
:
No entanto, percebemos que não temos o valor de
fornecido diretamente na questão. Assumindo que a concentração máxima segura de
ocorre no tempo inicial (
), podemos encontrar
substituindo
na função
:
Como a concentração máxima segura é
, temos:
Passo 4
Com
, nossa equação fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação:
Essa é uma equação transcendental e não possui solução algébrica simples. Portanto, usaremos métodos numéricos para encontrar
.
Passo 6
Vamos resolver a equação
numericamente. Uma maneira comum de fazer isso é através de tentativa e erro ou usando uma calculadora científica.
Vamos tentar alguns valores de
para encontrar quando a equação se aproxima de 0,75.
-
Para
hora: -
Para
hora:
Estamos perto de 0,75. Vamos refinar mais:
-
Para
hora: -
Para
hora: -
Para
hora:
Passo 7
Vimos que para
horas, a expressão
é aproximadamente
, que está bem próxima de
.
Passo 8
Agora, convertendo
horas para minutos:
Arredondando para o minuto mais próximo, temos
minutos.
Resposta
A segunda injeção deve ser aplicada aproximadamente após 65 minutos.