Um medicamento administrado a um paciente produz uma concentração na corrente sangüínea dada pela função c(t)=A-t e^-t3 miligramas por mililitro, t horas depois de terem sido injetadas no paciente A unidades. A concentração máxima de segurança é de 1 mg / ml. Uma quantidade adicional desse medicamento deve ser administrada ao paciente quando a concentração cai para 0,25 mg / ml. Determine, até o minuto mais próximo, quando essa segunda injeção deve ser aplicada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um medicamento que, quando administrado, gera uma concentração no sangue descrita pela função miligramas por mililitro, onde é o tempo em horas após a injeção de unidades do medicamento. A concentração máxima segura é de . Precisamos descobrir, até o minuto mais próximo, quando devemos aplicar uma segunda dose, que deve ser dada quando a concentração cair para .
Vamos usar conceitos de funções exponenciais e resolução de equações para encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da concentração:
c(t) = A - t e^-t3
Queremos encontrar o tempo 0,25 = A - t e^-t3 em que . Então, substituímos na equação:

Passo 3

Agora, precisamos isolar t e^-t3 = A - 0,25 :
c(0) = A - 0 cdot e^0 = A
No entanto, percebemos que não temos o valor de A = 1 fornecido diretamente na questão. Assumindo que a concentração máxima segura de ocorre no tempo inicial ( ), podemos encontrar substituindo na função :
Como a concentração máxima segura é , temos:

Passo 4

Com t e^-t3 = 1 - 0,25 , nossa equação fica:
t e^-t3 = 0,75

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação:
t e^-t3 = 0,75
Essa é uma equação transcendental e não possui solução algébrica simples. Portanto, usaremos métodos numéricos para encontrar .

Passo 6

Vamos resolver a equação 1 cdot e^-13 approx 1 cdot 0,7165 = 0,7165 numericamente. Uma maneira comum de fazer isso é através de tentativa e erro ou usando uma calculadora científica.
Vamos tentar alguns valores de 1,1 cdot e^-1,13 approx 1,1 cdot 0,6967 = 0,7664 para encontrar quando a equação se aproxima de 0,75.
  • Para 1,05 cdot e^-1,053 approx 1,05 cdot 0,7012 = 0,7363 hora:
    1,07 cdot e^-1,073 approx 1,07 cdot 0,6960 = 0,7447
  • Para 1,08 cdot e^-1,083 approx 1,08 cdot 0,6942 = 0,7503 hora:
Estamos perto de 0,75. Vamos refinar mais:
  • Para hora:
  • Para hora:
  • Para hora:

Passo 7

Vimos que para horas, a expressão é aproximadamente , que está bem próxima de .

Passo 8

Agora, convertendo 1,08 , horas times 60 , minutos/hora = 64,8 , minutos horas para minutos:
Arredondando para o minuto mais próximo, temos minutos.

Resposta

A segunda injeção deve ser aplicada aproximadamente após 65 minutos.

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