A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para
via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial
. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para ordenar quatro funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência para encontrar uma aproximação de
. A gente vai focar na função de iteração número 2, que é:
Para resolver isso, vamos usar o Método Iterativo Linear, começando com uma aproximação inicial de
. Vamos entender como essa função funciona e como ela nos ajuda a chegar mais perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa função de iteração faz. A função
é uma aplicação do Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. No nosso caso, queremos resolver
, ou seja, encontrar a raiz cúbica de 21.
A fórmula geral do Método de Newton-Raphson para uma função
é:
Aqui,
, então a derivada
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa função começando com
para encontrar uma melhor aproximação de
. Vamos calcular algumas iterações para ver como a gente se aproxima do valor real.
Iteração 1:
Iteração 2:
Vamos simplificar:
Viu como já estamos nos aproximando de um valor melhor?
Passo 4
Vamos fazer mais uma iteração para ver a melhora:
Iteração 3:
Calculando:
Cada iteração nos leva mais perto do valor real de
.
Passo 5
Agora, sobre a velocidade de convergência: O Método de Newton-Raphson, que estamos usando aqui com
, geralmente apresenta uma convergência quadrática. Isso significa que, perto da raiz verdadeira, o número de casas decimais corretas dobra a cada iteração, tornando o método muito eficiente.
Assim, se tivéssemos todas as quatro funções de iteração, poderíamos comparar suas velocidades observando como elas se aproximam do valor verdadeiro em poucas iterações. Porém, como estamos focando na função
, podemos concluir que ela converge rapidamente para
devido à natureza do Método de Newton-Raphson.
Resposta
A função de iteração
converge rapidamente para
, apresentando uma velocidade de convergência quadrática.
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, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
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miligramas por mililitro,
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