A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para raiz[3]21 via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial x0=1. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(b) phi2(x)=x-x^3-213 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para ordenar quatro funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência para encontrar uma aproximação de raiz[3]21. A gente vai focar na função de iteração número 2, que é:
phi2(x) = x - x^3 - 213x^2
Para resolver isso, vamos usar o Método Iterativo Linear, começando com uma aproximação inicial de x0 = 1. Vamos entender como essa função funciona e como ela nos ajuda a chegar mais perto de raiz[3]21.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa função de iteração faz. A função phi2(x) é uma aplicação do Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. No nosso caso, queremos resolver x^3 = 21, ou seja, encontrar a raiz cúbica de 21.
A fórmula geral do Método de Newton-Raphson para uma função f(x) é:
phi(x) = x - f(x)f'(x)
Aqui, f(x) = x^3 - 21, então a derivada f'(x) = 3x^2. Substituindo na fórmula, temos:
phi2(x) = x - x^3 - 213x^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa função começando com x0 = 1 para encontrar uma melhor aproximação de raiz[3]21. Vamos calcular algumas iterações para ver como a gente se aproxima do valor real.
Iteração 1:
x1 = phi2(x0) = 1 - 1^3 - 213 times 1^2 = 1 - -203 = 1 + 203 = 233 approx 7,6667
Iteração 2:
x2 = phi2(233) = 233 - (233)^3 - 213 times (233)^2
Vamos simplificar:
(233)^3 = 1216727 approx 450.63
3 times (233)^2 = 3 times 5299 = 15879 approx 176.3333
x2 = 233 - 450.63 - 21176.3333 approx 233 - 429.63176.3333 approx 7.6667 - 2.439 = 5.2277
Viu como já estamos nos aproximando de um valor melhor?

Passo 4

Vamos fazer mais uma iteração para ver a melhora:
Iteração 3:
x3 = phi2(5.2277) = 5.2277 - 5.2277^3 - 213 times 5.2277^2
Calculando:
5.2277^3 approx 142.314
3 times 5.2277^2 approx 3 times 27.301 approx 81.903
x3 = 5.2277 - 142.314 - 2181.903 approx 5.2277 - 121.31481.903 approx 5.2277 - 1.482 approx 3.7457
Cada iteração nos leva mais perto do valor real de raiz[3]21 approx 2.7589.

Passo 5

Agora, sobre a velocidade de convergência: O Método de Newton-Raphson, que estamos usando aqui com phi2(x), geralmente apresenta uma convergência quadrática. Isso significa que, perto da raiz verdadeira, o número de casas decimais corretas dobra a cada iteração, tornando o método muito eficiente.
Assim, se tivéssemos todas as quatro funções de iteração, poderíamos comparar suas velocidades observando como elas se aproximam do valor verdadeiro em poucas iterações. Porém, como estamos focando na função phi2(x), podemos concluir que ela converge rapidamente para raiz[3]21 devido à natureza do Método de Newton-Raphson.

Resposta

A função de iteração phi2(x) = x - x^3 - 213x^2 converge rapidamente para raiz[3]21, apresentando uma velocidade de convergência quadrática.

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