Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de 10^-4, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções: f(x)=x^3-9 x^2+12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Método de Newton para encontrar, com uma precisão de 10^-4, os zeros e os pontos críticos da função f(x) = x^3 - 9x^2 + 12. Isso envolve conceitos de cálculo como raízes de funções e derivadas para encontrar pontos críticos. Vamos precisar entender como aplicar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para aproximar soluções de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função f(x) = x^3 - 9x^2 + 12. Os zeros são os valores de x onde f(x) = 0. Para usar o Método de Newton, precisamos da derivada de f(x), que é f'(x) = 3x^2 - 18x.

Passo 3

O Método de Newton utiliza a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos precisar escolher um valor inicial x0. Vamos tentar x0 = 2 para começar.

Passo 4

Calculando f(2) e f'(2):
f(2) = 2^3 - 9 times 2^2 + 12 = 8 - 36 + 12 = -16
f'(2) = 3 times 2^2 - 18 times 2 = 12 - 36 = -24
Aplicando a fórmula de Newton:
x1 = 2 - -16-24 = 2 - 1624 = 2 - 23 = 43 approx 1.3333

Passo 5

Agora, repetimos o processo com x1 = 1.3333.
Calculando f(1.3333) e f'(1.3333):
f(1.3333) approx (1.3333)^3 - 9 times (1.3333)^2 + 12 approx 2.3704 - 16.0000 + 12 = -1.6296
f'(1.3333) approx 3 times (1.3333)^2 - 18 times 1.3333 approx 5.3333 - 24 = -18.6667
Atualizando x:
x2 = 1.3333 - -1.6296-18.6667 approx 1.3333 - 0.0874 = 1.2459

Passo 6

Continuamos com x2 = 1.2459.
Calculando f(1.2459) e f'(1.2459):
f(1.2459) approx (1.2459)^3 - 9 times (1.2459)^2 + 12 approx 1.9335 - 13.9970 + 12 = -0.0635
f'(1.2459) approx 3 times (1.2459)^2 - 18 times 1.2459 approx 4.6554 - 22.4262 = -17.7708
Atualizando x:
x3 = 1.2459 - -0.0635-17.7708 approx 1.2459 - 0.0036 = 1.2423

Passo 7

Vamos verificar se já atingimos a precisão de 10^-4. Calculando x3 - x2 = 1.2423 - 1.2459 = -0.0036, que ainda não é menor que 0.0001 em valor absoluto. Então, continuamos.

Passo 8

Com x3 = 1.2423:
f(1.2423) approx (1.2423)^3 - 9 times (1.2423)^2 + 12 approx 1.9150 - 13.9221 + 12 = -0.0071
f'(1.2423) approx 3 times (1.2423)^2 - 18 times 1.2423 approx 4.6334 - 22.3616 = -17.7282
Atualizando x:
x4 = 1.2423 - -0.0071-17.7282 approx 1.2423 - 0.0004 = 1.2419

Passo 9

Agora, a diferença entre x4 e x3 é 1.2419 - 1.2423 = -0.0004, que já é menor que 10^-4. Portanto, paramos aqui.

Resposta

O zero encontrado para a função f(x) = x^3 - 9x^2 + 12 utilizando o Método de Newton com precisão de 10^-4 é aproximadamente x approx 1.2419.

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