Quando um metal hipotético, que tem diâmetro de grão de
, e aquecido a
durante 12,5 minutos, o diâmetro do grão aumenta para
. Calcule o diametro do grão quando uma amostra do material original e aquecida a 500 C durante 100 minutos. Considere que o expoente do diâmetro do grão
tenha um valor de 2.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um metal com um certo tamanho de grão que muda quando ele é aquecido. O diâmetro inicial do grão é
e, após ser aquecido a
por 12,5 minutos, esse diâmetro cresce para
. A pergunta é: qual vai ser o diâmetro do grão se a gente aquecer o metal pelo mesmo tempo a 500°C por 100 minutos? A matéria que vamos usar aqui é cinética de crescimento de grãos, e vamos precisar aplicar a relação que liga o diâmetro do grão com o tempo de aquecimento, que tem um expoente
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o diâmetro do grão (
) e o tempo de aquecimento (
). A relação geral é dada por:
Onde:
-
é o diâmetro final do grão. -
é o diâmetro inicial do grão. -
é uma constante que depende do material e das condições do processo. -
é o expoente, que nesse caso é 2.
Passo 3
Vamos usar os dados que temos para encontrar a constante
. Sabemos que quando
minutos,
. Substituindo esses valores na equação:
Calculando os quadrados:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, vamos agora calcular o diâmetro do grão após 100 minutos. Usando a mesma equação:
Calculando:
Passo 6
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O diâmetro do grão após 100 minutos de aquecimento a
será aproximadamente
.