Quando um metal hipotético, que tem diâmetro de grão de 8,2 times 10^-3 mm, e aquecido a 500^circ C durante 12,5 minutos, o diâmetro do grão aumenta para 2,7 times 10^-2 mm. Calcule o diametro do grão quando uma amostra do material original e aquecida a 500 C durante 100 minutos. Considere que o expoente do diâmetro do grão n tenha um valor de 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um metal com um certo tamanho de grão que muda quando ele é aquecido. O diâmetro inicial do grão é 8,2 times 10^-3 mm e, após ser aquecido a 500^circ C por 12,5 minutos, esse diâmetro cresce para 2,7 times 10^-2 mm. A pergunta é: qual vai ser o diâmetro do grão se a gente aquecer o metal pelo mesmo tempo a 500°C por 100 minutos? A matéria que vamos usar aqui é cinética de crescimento de grãos, e vamos precisar aplicar a relação que liga o diâmetro do grão com o tempo de aquecimento, que tem um expoente n = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o diâmetro do grão ( D) e o tempo de aquecimento ( t). A relação geral é dada por:
D^n = D0^n + k cdot t
Onde:
  • D é o diâmetro final do grão.
  • D0 é o diâmetro inicial do grão.
  • k é uma constante que depende do material e das condições do processo.
  • n é o expoente, que nesse caso é 2.

Passo 3

Vamos usar os dados que temos para encontrar a constante k. Sabemos que quando t = 12,5 minutos, D = 2,7 times 10^-2 mm. Substituindo esses valores na equação:
(2,7 times 10^-2)^2 = (8,2 times 10^-3)^2 + k cdot 12,5
Calculando os quadrados:
7,29 times 10^-4 = 6,724 times 10^-5 + 12,5k

Passo 4

Agora, vamos isolar k:
12,5k = 7,29 times 10^-4 - 6,724 times 10^-5
12,5k = 6,6176 times 10^-4
k = 6,6176 times 10^-412,5
k = 5,29408 times 10^-5 mm^2/min

Passo 5

Com o valor de k encontrado, vamos agora calcular o diâmetro do grão após 100 minutos. Usando a mesma equação:
D^2 = (8,2 times 10^-3)^2 + 5,29408 times 10^-5 cdot 100
Calculando:
D^2 = 6,724 times 10^-5 + 5,29408 times 10^-3
D^2 = 5,36144 times 10^-3

Passo 6

Agora, para encontrar D, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
D = raiz5,36144 times 10^-3
D approx 2,316 times 10^-2 mm

Resposta

O diâmetro do grão após 100 minutos de aquecimento a 500^circ C será aproximadamente 2,316 times 10^-2 mm.

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