Um método está sendo avaliado para a determinação de Zn em um suplemento alimentar. Sabe-se que uma amostra do suplemento contém 100 mg de Zn . Essa amostra foi analisada cinco vezes e os resultados obtidos em mg foram os seguintes: 100, 4 ; 101,0 ; 100,8 ; 100,3 ; 100,1. Calcule o intervalo de confiança para a média a 99% e utilize esse valor para decidir se existe alguma evidência de erro sistemático. Dado tam =2,57.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estatística onde precisamos calcular um intervalo de confiança de 99% para a média de zinco (Zn) presente em um suplemento alimentar. A amostra que foi analisada contém cinco resultados: 100,4 mg; 101,0 mg; 100,8 mg; 100,3 mg; e 100,1 mg. O objetivo é ver se existe algum erro sistemático no método de determinação desse zinco, ou seja, se a média das medidas está realmente próxima de 100 mg, que é o valor esperado. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o desvio padrão, a margem de erro usando o valor t dado (2,57) e, por fim, determinar o intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos cinco valores que temos. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores.
Média = 100,4 + 101,0 + 100,8 + 100,3 + 100,15 é
Vamos somar:
100,4 + 101,0 = 201,4 201,4 + 100,8 = 302,2 302,2 + 100,3 = 402,5 402,5 + 100,1 = 502,6
Então,
Média = 502,65 = 100,52 , mg é

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão nos mostra o quanto os valores se dispersam em relação à média. A fórmula para o desvio padrão da amostra é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • (100,4 - 100,52)^2 = (-0,12)^2 = 0,0144 (101,0 - 100,52)^2 = 0,48^2 = 0,2304 (100,8 - 100,52)^2 = 0,28^2 = 0,0784 (100,3 - 100,52)^2 = (-0,22)^2 = 0,0484 (100,1 - 100,52)^2 = (-0,42)^2 = 0,1764 são os valores individuais,
  • 0,0144 + 0,2304 = 0,2448 0,2448 + 0,0784 = 0,3232 0,3232 + 0,0484 = 0,3716 0,3716 + 0,1764 = 0,548 é a média,
  • 0,5484 = 0,137 é o número de observações.
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
s = raiz0,137 approx 0,370 , mg
Somando esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos um ( ):
Por fim, tiramos a raiz quadrada:

Passo 4

Com o desvio padrão em mãos, vamos calcular o erro padrão da média. Esse erro nos indica o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula é:
Erro Padrão = sraizn ã
Onde:
  • Erro Padrão = 0,370raiz5 approx 0,3702,236 approx 0,1656 , mg é o desvio padrão,
  • é o número de observações.
Substituindo os valores:
ã

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro usando o valor t fornecido (2,57). A margem de erro é o quanto a média pode variar para cima ou para baixo no intervalo de confiança. Usamos a fórmula:
Mar>=m de Erro = t times Erro Padrão ã
Substituindo os valores:
Mar>=m de Erro = 2,57 times 0,1656 approx 0,4257 , mg

Passo 6

Com a margem de erro, vamos determinar o intervalo de confiança. Isso significa que estamos 99% confiantes de que a verdadeira média está dentro desse intervalo. A fórmula é:
Intervalo de Confiança = barx pm Mar>=m de Erro ç
Substituindo os valores:
100,52 pm 0,4257
Isso resulta em:
Limite Inferior = 100,52 - 0,4257 approx 100,09 , mg Limite Superior = 100,52 + 0,4257 approx 100,95 , mg
Então, o intervalo de confiança é de aproximadamente 100,09 mg a 100,95 mg.

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a média de Zn no suplemento é de 100,09 mg a 100,95 mg. Como o valor esperado de 100 mg está dentro desse intervalo, não há evidências de erro sistemático no método utilizado.

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