Use o Método da Falsa Posição para encontrar soluções com precisão de 10^-3 para os seguintes problemas: 2 x cos (2 x)-(x-2)^2=0 para x in[2 ; 3] e x in[3 ; 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício usando o Método da Falsa Posição. A gente tem a equação e precisamos encontrar as raízes dela com uma precisão de nos intervalos e . O Método da Falsa Posição é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções onde a gente aproxima a função por uma linha reta entre dois pontos e vê onde essa reta cruza o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no intervalo f(2) = 2 times 2 times cos(4) - (2 - 2)^2 = 4 cos(4) - 0 approx 4 times (-0,6536) = -2,6144 . Precisamos verificar se há uma mudança de sinal da função nesse intervalo, ou seja, se f(3) = 2 times 3 times cos(6) - (3 - 2)^2 = 6 cos(6) - 1 approx 6 times 0,9602 - 1 = 5,7612 - 1 = 4,7612 e têm sinais opostos. Calculando:
Como é negativo e é positivo, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do Método da Falsa Posição:
xr = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b)
Onde xr = 3 - 4,7612 times (2 - 3)-2,6144 - 4,7612 = 3 - 4,7612 times (-1)-7,3756 approx 3 - -4,7612-7,3756 approx 3 - 0,6454 = 2,3546 e .
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos verificar o sinal de f(2,3546) = 2 times 2,3546 times cos(4,7092) - (2,3546 - 2)^2 :
cos(4,7092) approx 0,0063
Calculando:
f(2,3546) approx 4,7092 times 0,0063 - 0,3546^2 approx 0,0297 - 0,1257 = -0,096
Como é negativo e também é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula com xr = 3 - 4,7612 times (2,3546 - 3)-0,096 - 4,7612 approx 3 - 4,7612 times (-0,6454)-4,8572 approx 3 - -3,077-4,8572 approx 3 - 0,6331 = 2,3669 e :

Passo 6

Calculamos f(2,3669) = 2 times 2,3669 times cos(4,7338) - (2,3669 - 2)^2 :
cos(4,7338) approx 0,0109
f(2,3669) approx 4,7338 times 0,0109 - 0,3669^2 approx 0,0515 - 0,1344 = -0,0829
Ainda negativo, então atualizamos o intervalo para .

Passo 7

Reaplicamos a fórmula com xr = 3 - 4,7612 times (2,3669 - 3)-0,0829 - 4,7612 approx 3 - 4,7612 times (-0,6331)-4,8441 approx 3 - -3,011-4,8441 approx 3 - 0,6217 = 2,3783 e :

Passo 8

Calculamos f(2,3783) = 2 times 2,3783 times cos(4,7566) - (2,3783 - 2)^2 :
cos(4,7566) approx 0,0116
f(2,3783) approx 4,7566 times 0,0116 - 0,3783^2 approx 0,0552 - 0,1427 = -0,0875
Ainda negativo, então atualizamos o intervalo para .

Passo 9

Reaplicamos a fórmula com xr = 3 - 4,7612 times (2,3783 - 3)-0,0875 - 4,7612 approx 3 - 4,7612 times (-0,6217)-4,8487 approx 3 - -2,961-4,8487 approx 3 - 0,610 = 2,390 e :

Passo 10

Calculamos f(2,390) = 2 times 2,390 times cos(4,78) - (2,390 - 2)^2 :
cos(4,78) approx 0,009
f(2,390) approx 4,78 times 0,009 - 0,390^2 approx 0,043 - 0,1521 = -0,1091
Ainda negativo, então atualizamos o intervalo para .

Passo 11

Reaplicamos a fórmula com xr = 3 - 4,7612 times (2,390 - 3)-0,1091 - 4,7612 approx 3 - 4,7612 times (-0,610)-4,8703 approx 3 - -2,902-4,8703 approx 3 - 0,596 = 2,404 e :

Resposta

A solução aproximada para a equação no intervalo com precisão de é .

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