O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
a) Método de Euler,
.
a) Método de Euler,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação que descreve como a população de um lugar cresce ao longo do tempo. A equação é:
Aqui,
é o número de habitantes,
é o tempo em anos,
e
são constantes. A condição inicial é
, ou seja, no tempo zero, começam com 5000 habitantes.
A gente vai usar o Método de Euler para aproximar a solução dessa equação. Esse método é tipo uma maneira de “dar passos” para a gente ver como a população muda ao longo do tempo, usando um tamanho de passo
ano. Vamos fazer três desses passos, ou seja, de
até
.
Passo 2
Primeiro Passo: de
para
Vamos começar com
habitantes. No Método de Euler, a fórmula para o próximo passo é:
Onde
.
Calculando
:
Agora, aplicamos a fórmula de Euler:
Então, após o primeiro ano, a população é de 6000 habitantes.
Passo 3
Segundo Passo: de
para
Agora,
. Vamos calcular
:
Aplicando a fórmula de Euler novamente:
Depois do segundo ano, a população cresce para 7140 habitantes.
Passo 4
Terceiro Passo: de
para
Agora,
. Vamos calcular
:
Aplicando a fórmula de Euler pela última vez:
Então, após o terceiro ano, a população é de aproximadamente 8405 habitantes.
Resposta
Após três passos usando o Método de Euler com
, a população chega a aproximadamente 8405 habitantes.
Exercícios relacionados
Determine (em valores absolutos) o maior e o menor número representado pelos seguintes sistemas:
a)
a)
Opcional) Mostre que:
b)
b)
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com ;
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com ;
c) Método de RK de ordem 4, com