O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
a) Método de Euler, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação que descreve como a população de um lugar cresce ao longo do tempo. A equação é:
Aqui, é o número de habitantes, é o tempo em anos, e são constantes. A condição inicial é , ou seja, no tempo zero, começam com 5000 habitantes.
A gente vai usar o Método de Euler para aproximar a solução dessa equação. Esse método é tipo uma maneira de “dar passos” para a gente ver como a população muda ao longo do tempo, usando um tamanho de passo ano. Vamos fazer três desses passos, ou seja, de até .

Passo 2

Primeiro Passo: de para
Vamos começar com habitantes. No Método de Euler, a fórmula para o próximo passo é:
Onde .
Calculando :
Agora, aplicamos a fórmula de Euler:
Então, após o primeiro ano, a população é de 6000 habitantes.

Passo 3

Segundo Passo: de para
Agora, . Vamos calcular :
Aplicando a fórmula de Euler novamente:
Depois do segundo ano, a população cresce para 7140 habitantes.

Passo 4

Terceiro Passo: de para
Agora, . Vamos calcular :
Aplicando a fórmula de Euler pela última vez:
Então, após o terceiro ano, a população é de aproximadamente 8405 habitantes.

Resposta

Após três passos usando o Método de Euler com , a população chega a aproximadamente 8405 habitantes.

Exercícios relacionados

Determine (em valores absolutos) o maior e o menor número representado pelos seguintes sistemas:
a)
Opcional) Mostre que:
b)
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com ;
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com ;