O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
d pd t=G2 cdot(A-p) cdot p
onde, p é o número de habitantes, t é o tempo (anos), G2 e A são constantes Temse que: G2=1 cdot 10^-5 e A=25000; A condição inicial é: p(0)=5000. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
a) Método de Euler, com h=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação que descreve como a população de um lugar cresce ao longo do tempo. A equação é:
d pd t = G2 cdot (A - p) cdot p
Aqui, é o número de habitantes, é o tempo em anos, e são constantes. A condição inicial é , ou seja, no tempo zero, começam com 5000 habitantes.
A gente vai usar o Método de Euler para aproximar a solução dessa equação. Esse método é tipo uma maneira de “dar passos” para a gente ver como a população muda ao longo do tempo, usando um tamanho de passo ano. Vamos fazer três desses passos, ou seja, de até .

Passo 2

Primeiro Passo: de p1 = p0 + h cdot f(p0) para f(5000) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 5000) cdot 5000 = 1 times 10^-5 cdot 20000 cdot 5000
Vamos começar com f(5000) = 1 times 10^-5 cdot 100000000 = 1000 habitantes. No Método de Euler, a fórmula para o próximo passo é:
p1 = 5000 + 1 cdot 1000 = 6000
Onde .
Calculando :
Agora, aplicamos a fórmula de Euler:
Então, após o primeiro ano, a população é de 6000 habitantes.

Passo 3

Segundo Passo: de f(6000) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 6000) cdot 6000 = 1 times 10^-5 cdot 19000 cdot 6000 para f(6000) = 1 times 10^-5 cdot 114000000 = 1140
Agora, p2 = 6000 + 1 cdot 1140 = 7140 . Vamos calcular :
Aplicando a fórmula de Euler novamente:
Depois do segundo ano, a população cresce para 7140 habitantes.

Passo 4

Terceiro Passo: de f(7140) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 7140) cdot 7140 = 1 times 10^-5 cdot 17860 cdot 7140 para f(7140) = 1 times 10^-5 cdot 126500400 = 1265.004
Agora, p3 = 7140 + 1 cdot 1265.004 approx 8405 . Vamos calcular :
Aplicando a fórmula de Euler pela última vez:
Então, após o terceiro ano, a população é de aproximadamente 8405 habitantes.

Resposta

Após três passos usando o Método de Euler com , a população chega a aproximadamente 8405 habitantes.

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