O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
d pd t=G2 cdot(A-p) cdot p
onde, p é o número de habitantes, t é o tempo (anos), G2 e A são constantes Temse que: G2=1 cdot 10^-5 e A=25000; A condição inicial é: p(0)=5000. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com h=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve o crescimento da população:
dpdt = G2 cdot (A - p) cdot p
Aqui, é o número de habitantes, é o tempo em anos, e e são constantes. Sabemos que e . A condição inicial é .
Vamos usar o Método de Runge-Kutta de ordem 4 (RK4) com um passo anos, e vamos fazer três passos de integração no intervalo de a .
Para isso, precisamos calcular os valores de em cada passo utilizando as fórmulas do RK4, que envolvem calcular quatro estimativas de inclinação ( ) em cada etapa.

Passo 2

Primeiro Passo (de k1 = h cdot f(t0, p0) = 2 cdot (1 times 10^-5) cdot (25000 - 5000) cdot 5000 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 20000 cdot 5000 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 100000000 = 2000 para k2 = h cdot f(t0 + h2, p0 + k12) = 2 cdot (1 times 10^-5) cdot (25000 - (5000 + 20002)) cdot (5000 + 20002) = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - 6000) cdot 6000 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 19000 cdot 6000 = 2280 ):
Começamos com k3 = h cdot f(t0 + h2, p0 + k22) = 2 cdot (1 times 10^-5) cdot (25000 - (5000 + 22802)) cdot (5000 + 22802) = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - 6140) cdot 6140 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 18860 cdot 6140 approx 2315,688 habitantes.
  1. Calculamos k4 = h cdot f(t0 + h, p0 + k3) = 2 cdot (1 times 10^-5) cdot (25000 - (5000 + 2315,688)) cdot (5000 + 2315,688) = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - 7315,688) cdot 7315,688 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 17684,312 cdot 7315,688 approx 2588,026 :
    p1 = p0 + 16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) = 5000 + 16(2000 + 2 cdot 2280 + 2 cdot 2315,688 + 2588,026) approx 5000 + 16(2000 + 4560 + 4631,376 + 2588,026) approx 5000 + 16(13779,402) approx 5000 + 2296,567 approx 7296,567
  2. Calculamos :
  3. Calculamos :
  4. Calculamos :
  5. Atualizamos :
Agora, em é aproximadamente 7296,567 habitantes.

Passo 3

Segundo Passo (de k1 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - 7296,567) cdot 7296,567 approx 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 17703,433 cdot 7296,567 approx 2583,146 para k2 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - (7296,567 + 2583,1462)) cdot (7296,567 + 2583,1462) approx 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - 8537,140) cdot 8537,140 approx 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 16462,86 cdot 8537,140 approx 2807,220 ):
Agora, k3 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - (7296,567 + 2807,2202)) cdot (7296,567 + 2807,2202) approx 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - 8699,177) cdot 8699,177 approx 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 16300,823 cdot 8699,177 approx 2830,652 .
  1. Calculamos k4 = 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - (7296,567 + 2830,652)) cdot (7296,567 + 2830,652) approx 2 cdot 1 times 10^-5 cdot (25000 - 10127,219) cdot 10127,219 approx 2 cdot 1 times 10^-5 cdot 14872,781 cdot 10127,219 approx 3014,550 :
    p2 = 7296,567 + 16(2583,146 + 2 cdot 2807,220 + 2 cdot 2830,652 + 3014,550) approx 7296,567 + 16(2583,146 + 5614,440 + 5661,304 + 3014,550) approx 7296,567 + 16(16873,440) approx 7296,567 + 2812,240 approx 10108,807
  2. Calculamos :
  3. Calculamos :
  4. Calculamos :
  5. Atualizamos :
Agora, em é aproximadamente 10108,807 habitantes.

Resposta

Após três passos de integração usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com , a população no tempo anos é aproximadamente 14771,123 habitantes.

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