O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com
;
c) Método de RK de ordem 4, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve o crescimento da população:
Aqui,
é o número de habitantes,
é o tempo em anos, e
e
são constantes. Sabemos que
e
. A condição inicial é
.
Vamos usar o Método de Runge-Kutta de ordem 4 (RK4) com um passo
anos, e vamos fazer três passos de integração no intervalo de
a
.
Para isso, precisamos calcular os valores de
em cada passo utilizando as fórmulas do RK4, que envolvem calcular quatro estimativas de inclinação (
) em cada etapa.
Passo 2
Primeiro Passo (de
para
):
Começamos com
habitantes.
-
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Atualizamos
:
Agora,
em
é aproximadamente 7296,567 habitantes.
Passo 3
Segundo Passo (de
para
):
Agora,
.
-
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Atualizamos
:
Agora,
em
é aproximadamente 10108,807 habitantes.
Resposta
Após três passos de integração usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com
, a população no tempo
anos é aproximadamente 14771,123 habitantes.