O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com
;
c) Método de RK de ordem 4, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que descreve o crescimento da população:
Aqui,
é o número de habitantes,
é o tempo em anos, e
e
são constantes. Sabemos que
e
. A condição inicial é
.
Vamos usar o Método de Runge-Kutta de ordem 4 (RK4) com um passo
anos, e vamos fazer três passos de integração no intervalo de
a
.
Para isso, precisamos calcular os valores de
em cada passo utilizando as fórmulas do RK4, que envolvem calcular quatro estimativas de inclinação (
) em cada etapa.
Passo 2
Primeiro Passo (de
para
):
Começamos com
habitantes.
-
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Atualizamos
:
Agora,
em
é aproximadamente 7296,567 habitantes.
Passo 3
Segundo Passo (de
para
):
Agora,
.
-
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Calculamos
: -
Atualizamos
:
Agora,
em
é aproximadamente 10108,807 habitantes.
Resposta
Após três passos de integração usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com
, a população no tempo
anos é aproximadamente 14771,123 habitantes.
Exercícios relacionados
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com ;
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
a) Método de Euler, .
a) Método de Euler,
Sejam
o erro absoluto e
o erro relativo. Mostre que o erro relativo na representação de um número em um sistema
, com arredondamento, é limitado por
São conhecidos os seguintes dados de tensão e corrente:
Corrente (A) | Tensão
|
---|---|
5.2 | 2 |
10.7 | 4 |
19.3 | 7 |
27.5 | 76 |
32 | 100 |
40 | 155 |
44 | 193 |
O comportamento do circuito elétrico cujos dados estão dispostos na tabela fornecida é tal que a lei de ohm é válida apenas para um valor de corrente menor ou igual a 20 A . Acima de 20 A , é sabido que o circuito passa a ter um comportamento descrito pela seguinte expressão:
são constantes. a) Considerando apenas a região em que é válida a lei de Ohm, estime o valor da resistência
. b) Estime os valores de
e
utilizando o ajuste de curva.