O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
d pd t=G2 cdot(A-p) cdot p
onde, p é o número de habitantes, t é o tempo (anos), G2 e A são constantes Temse que: G2=1 cdot 10^-5 e A=25000; A condição inicial é: p(0)=5000. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com h=2;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício fala sobre o crescimento da população em um lugar específico, e ele usa uma equação diferencial para modelar isso:
d pd t=G2 cdot(A-p) cdot p
Aqui, é o número de habitantes, é o tempo em anos, e e são constantes. Os valores que a gente tem são:
  • Condição inicial:
A gente precisa usar o Método de Runge-Kutta de segunda ordem (Heun) com um passo para calcular a população nos anos 2, 4 e 6. Vamos seguir três passos de integração para isso!

Passo 2

Primeiro Passo (de f(t, p) = G2 cdot (A - p) cdot p para f(0, 5000) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 5000) cdot 5000 = 1 times 10^-5 cdot 20000 cdot 5000 = 1000 ):
  1. Calculando ppred = p0 + h cdot k1 = 5000 + 2 cdot 1000 = 7000 :
    A função que define a taxa de crescimento é:
    f(2, 7000) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 7000) cdot 7000 = 1 times 10^-5 cdot 18000 cdot 7000 = 1260
    Substituindo os valores:
    p1 = 5000 + 22 cdot (1000 + 1260) = 5000 + 1 cdot 2260 = 7260
    Então, .
  2. Estimando no próximo passo ( ):
  3. Calculando :
    Agora, usamos para calcular :
    Então, .
  4. Atualizando :
    Usamos a média de e para atualizar :
Então, após 2 anos, a população é de 7.260 habitantes.

Passo 3

Segundo Passo (de f(2, 7260) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 7260) cdot 7260 = 1 times 10^-5 cdot 17740 cdot 7260 approx 1287.444 para ppred = 7260 + 2 cdot 1287.444 approx 7260 + 2574.888 approx 9834.888 ):
  1. Calculando f(4, 9834.888) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 9834.888) cdot 9834.888 approx 1 times 10^-5 cdot 15165.112 cdot 9834.888 approx 1490.992 :
    Agora, com p2 = 7260 + 22 cdot (1287.444 + 1490.992) approx 7260 + 1 cdot 2778.436 approx 10038.436 :
    Então, .
  2. Estimando no próximo passo ( ):
  3. Calculando :
    Então, .
  4. Atualizando :
Após mais 2 anos, a população é de aproximadamente 10.038 habitantes.

Passo 4

Terceiro Passo (de f(4, 10038.436) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 10038.436) cdot 10038.436 approx 1 times 10^-5 cdot 14961.564 cdot 10038.436 approx 1500.0 para ppred = 10038.436 + 2 cdot 1500.0 = 10038.436 + 3000.0 = 13038.436 ):
  1. Calculando f(6, 13038.436) = 1 times 10^-5 cdot (25000 - 13038.436) cdot 13038.436 approx 1 times 10^-5 cdot 11961.564 cdot 13038.436 approx 1559.999 :
    Com p3 = 10038.436 + 22 cdot (1500.0 + 1560.0) = 10038.436 + 1 cdot 3060.0 = 13098.436 :
    Então, .
  2. Estimando no próximo passo ( ):
  3. Calculando :
    Então, .
  4. Atualizando :
Então, após 6 anos, a população é de aproximadamente 13.098 habitantes.

Resposta

Após 6 anos, a população estimada é de 13.098 habitantes.

Exercícios relacionados