O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício fala sobre o crescimento da população em um lugar específico, e ele usa uma equação diferencial para modelar isso:
Aqui, é o número de habitantes, é o tempo em anos, e e são constantes. Os valores que a gente tem são:
  • Condição inicial:
A gente precisa usar o Método de Runge-Kutta de segunda ordem (Heun) com um passo para calcular a população nos anos 2, 4 e 6. Vamos seguir três passos de integração para isso!

Passo 2

Primeiro Passo (de para ):
  1. Calculando :
    A função que define a taxa de crescimento é:
    Substituindo os valores:
    Então, .
  2. Estimando no próximo passo ( ):
  3. Calculando :
    Agora, usamos para calcular :
    Então, .
  4. Atualizando :
    Usamos a média de e para atualizar :
Então, após 2 anos, a população é de 7.260 habitantes.

Passo 3

Segundo Passo (de para ):
  1. Calculando :
    Agora, com :
    Então, .
  2. Estimando no próximo passo ( ):
  3. Calculando :
    Então, .
  4. Atualizando :
Após mais 2 anos, a população é de aproximadamente 10.038 habitantes.

Passo 4

Terceiro Passo (de para ):
  1. Calculando :
    Com :
    Então, .
  2. Estimando no próximo passo ( ):
  3. Calculando :
    Então, .
  4. Atualizando :
Então, após 6 anos, a população é de aproximadamente 13.098 habitantes.

Resposta

Após 6 anos, a população estimada é de 13.098 habitantes.

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O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
a) Método de Euler, .
Determine (em valores absolutos) o maior e o menor número representado pelos seguintes sistemas:
a)
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde, é o número de habitantes, é o tempo (anos), e são constantes Temse que: e ; A condição inicial é: . Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com ;
Sejam o erro absoluto e o erro relativo. Mostre que o erro relativo na representação de um número em um sistema , com arredondamento, é limitado por