O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com
;
b) Método de RK de ordem 2 (Heun), com
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício fala sobre o crescimento da população em um lugar específico, e ele usa uma equação diferencial para modelar isso:
Aqui,
é o número de habitantes,
é o tempo em anos, e
e
são constantes. Os valores que a gente tem são:
-
-
- Condição inicial:
A gente precisa usar o Método de Runge-Kutta de segunda ordem (Heun) com um passo
para calcular a população nos anos 2, 4 e 6. Vamos seguir três passos de integração para isso!
Passo 2
Primeiro Passo (de
para
):
-
Calculando
:
A função que define a taxa de crescimento é:Substituindo os valores:Então,. -
Estimando
no próximo passo ( ): -
Calculando
:
Agora, usamospara calcular : Então,. -
Atualizando
:
Usamos a média dee para atualizar :
Então, após 2 anos, a população é de 7.260 habitantes.
Passo 3
Segundo Passo (de
para
):
-
Calculando
:
Agora, com: Então,. -
Estimando
no próximo passo ( ): -
Calculando
: Então,. -
Atualizando
:
Após mais 2 anos, a população é de aproximadamente 10.038 habitantes.
Passo 4
Terceiro Passo (de
para
):
-
Calculando
:
Com: Então,. -
Estimando
no próximo passo ( ): -
Calculando
: Então,. -
Atualizando
:
Então, após 6 anos, a população é de aproximadamente 13.098 habitantes.
Resposta
Após 6 anos, a população estimada é de 13.098 habitantes.
Exercícios relacionados
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
a) Método de Euler, .
a) Método de Euler,
Determine (em valores absolutos) o maior e o menor número representado pelos seguintes sistemas:
a)
a)
O modelo a seguir procura descrever o crescimento populacional dos habitantes de um determinado local:
onde,
é o número de habitantes,
é o tempo (anos),
e
são constantes Temse que:
e
; A condição inicial é:
. Efetue três passos de integração para os métodos a seguir (intervalo de 0 a 6 ):
c) Método de RK de ordem 4, com ;
c) Método de RK de ordem 4, com
Sejam
o erro absoluto e
o erro relativo. Mostre que o erro relativo na representação de um número em um sistema
, com arredondamento, é limitado por