Um mol de um gás ideal efetua um ciclo constituído dos seguintes processos reversíveis: 1-2: expansão isotérmica a
, em que a pressão do gás varia de 2,92 bar até 1,2 bar; 2-3: resfriamento isocórico até uma temperatura de
- compressão isotérmica; 41 aquecimento isocórico até o estado em que se iniciou o ciclo. Determinar o rendimento do ciclo e o rendimento do ciclo se fosse uma máquina de Carnot. Assuma que
.
R.:
.
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre termodinâmica, mais especificamente sobre ciclos de gás ideal. A ideia é calcular o rendimento de um ciclo termodinâmico com alguns processos específicos e comparar com o rendimento de uma máquina de Carnot. Para resolver isso, vamos precisar entender processos isotérmicos (temperatura constante) e isocóricos (volume constante), além de usar as fórmulas de eficiência térmica. Vamos dar um jeito nisso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as temperaturas envolvidas no ciclo. As temperaturas estão dadas em graus Celsius, mas para os cálculos de termodinâmica, precisamos convertê-las para Kelvin.
-
Processo 1-2: Expansão isotérmica a
-
Processo 2-3: Resfriamento isocórico até
Passo 3
Agora, precisamos calcular as quantidades de calor envolvidas em cada processo. Vamos começar pelo processo 1-2, que é uma expansão isotérmica.
Em um processo isotérmico para um gás ideal, o calor trocado é igual ao trabalho realizado pelo gás:
Mas como temos pressão variando, podemos reescrever usando a relação
:
Aqui,
bar e
bar.
Passo 4
Vamos calcular
:
Sabendo que
, mas para simplificar, podemos deixar a expressão em termos de
por enquanto.
Passo 5
No processo 2-3, temos um resfriamento isocórico (volume constante). O calor trocado nesse processo é dado por:
Sabemos que
. Para um gás ideal,
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
O sinal negativo indica que o calor está sendo retirado do sistema.
Passo 7
O próximo processo é a compressão isotérmica 3-4. Como é isotérmico, o calor trocado é igual ao trabalho realizado sobre o gás:
Assumindo que
bar (já que retorna ao estado inicial), e
bar:
Passo 8
Finalmente, no processo 4-1, temos aquecimento isocórico:
Como estamos voltando ao estado inicial:
O sinal positivo indica que o calor está sendo fornecido ao sistema.
Passo 9
Agora, para encontrar o rendimento (
) do ciclo, usamos a fórmula:
O trabalho líquido do ciclo é a soma dos trabalhos nos processos isotérmicos:
E o calor fornecido é
.
Passo 10
Vamos somar os valores:
E o calor fornecido:
Passo 11
Calculando os logaritmos naturais:
Passo 12
Substituindo os valores:
Passo 13
Agora, o rendimento:
Arredondando,
ou 17,8%.
Passo 14
Para comparar com o rendimento de uma máquina de Carnot, usamos a fórmula:
Aqui,
e
:
Isso significa que o rendimento da máquina de Carnot seria aproximadamente 37,2%.
Resposta
O rendimento do ciclo é aproximadamente
e o rendimento da máquina de Carnot correspondente é
.