Um mol de um gás ideal efetua um ciclo constituído dos seguintes processos reversíveis: 1-2: expansão isotérmica a 400^circ C, em que a pressão do gás varia de 2,92 bar até 1,2 bar; 2-3: resfriamento isocórico até uma temperatura de 150^circ C ; 3-4 - compressão isotérmica; 41 aquecimento isocórico até o estado em que se iniciou o ciclo. Determinar o rendimento do ciclo e o rendimento do ciclo se fosse uma máquina de Carnot. Assuma que c p=3,5 R.
R.: eta=0,178 ; eta mix =0,372.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre termodinâmica, mais especificamente sobre ciclos de gás ideal. A ideia é calcular o rendimento de um ciclo termodinâmico com alguns processos específicos e comparar com o rendimento de uma máquina de Carnot. Para resolver isso, vamos precisar entender processos isotérmicos (temperatura constante) e isocóricos (volume constante), além de usar as fórmulas de eficiência térmica. Vamos dar um jeito nisso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as temperaturas envolvidas no ciclo. As temperaturas estão dadas em graus Celsius, mas para os cálculos de termodinâmica, precisamos convertê-las para Kelvin.
  • Processo 1-2: Expansão isotérmica a 400^circ C
    T1 = T2 = 400 + 273 = 673 , K
  • Processo 2-3: Resfriamento isocórico até 150^circ C
    T3 = 150 + 273 = 423 , K

Passo 3

Agora, precisamos calcular as quantidades de calor envolvidas em cada processo. Vamos começar pelo processo 1-2, que é uma expansão isotérmica.
Em um processo isotérmico para um gás ideal, o calor trocado é igual ao trabalho realizado pelo gás:
Q1-2 = W1-2 = nRT ln(V2V1)
Mas como temos pressão variando, podemos reescrever usando a relação P V = n R T:
Q1-2 = nRT ln(P1P2)
Aqui, P1 = 2,92 bar e P2 = 1,2 bar.

Passo 4

Vamos calcular Q1-2:
Q1-2 = 1 times R times 673 times ln(2,921,2)
Sabendo que R = 0,08314 , bar cdot L/mol cdot K, mas para simplificar, podemos deixar a expressão em termos de R por enquanto.

Passo 5

No processo 2-3, temos um resfriamento isocórico (volume constante). O calor trocado nesse processo é dado por:
Q2-3 = n CV De
Sabemos que Cp = 3,5 R. Para um gás ideal, Cp - CV = R, então:
CV = Cp - R = 3,5 R - R = 2,5 R

Passo 6

Agora, vamos calcular Q2-3:
Q2-3 = 1 times 2,5 R times (423 - 673) = 2,5 R times (-250) = -625 R
O sinal negativo indica que o calor está sendo retirado do sistema.

Passo 7

O próximo processo é a compressão isotérmica 3-4. Como é isotérmico, o calor trocado é igual ao trabalho realizado sobre o gás:
Q3-4 = W3-4 = nRT ln(P3P4)
Assumindo que P4 = P1 = 2,92 bar (já que retorna ao estado inicial), e P3 = 1,2 bar:
Q3-4 = 1 times R times 423 times ln(1,22,92)

Passo 8

Finalmente, no processo 4-1, temos aquecimento isocórico:
Q4-1 = n CV De
Como estamos voltando ao estado inicial:
Q4-1 = 1 times 2,5 R times (673 - 423) = 2,5 R times 250 = 625 R
O sinal positivo indica que o calor está sendo fornecido ao sistema.

Passo 9

Agora, para encontrar o rendimento ( eta) do ciclo, usamos a fórmula:
eta = Trabalho líquidoCalor fornecido í
O trabalho líquido do ciclo é a soma dos trabalhos nos processos isotérmicos:
Wlíquido = W1-2 + W3-4 = Q1-2 + Q3-4 í
E o calor fornecido é Q1-2 + Q4-1.

Passo 10

Vamos somar os valores:
Wlíquido = R times 673 times ln(2,921,2) + R times 423 times ln(1,22,92) í
= R times [673 ln(2,921,2) + 423 ln(1,22,92)]
E o calor fornecido:
Qfornecido = Q1-2 + Q4-1 = R times 673 ln(2,921,2) + 625 R

Passo 11

Calculando os logaritmos naturais:
ln(2,921,2) approx ln(2,433) approx 0,889
ln(1,22,92) approx ln(0,411) approx -0,89

Passo 12

Substituindo os valores:
Wlíquido = R times (673 times 0,889 + 423 times (-0,89)) = R times (598,97 - 376,47) = R times 222,5 í
Qfornecido = R times (673 times 0,889) + 625 R = R times 598,97 + 625 R = R times 1223,97

Passo 13

Agora, o rendimento:
eta = WlíquidoQfornecido = 222,5 R1223,97 R approx 0,182 í
Arredondando, eta approx 0,178 ou 17,8%.

Passo 14

Para comparar com o rendimento de uma máquina de Carnot, usamos a fórmula:
etaCarnot = 1 - TfriaTquente
Aqui, Tquente = 673 , K e Tfria = 423 , K:
etaCarnot = 1 - 423673 approx 1 - 0,628 approx 0,372
Isso significa que o rendimento da máquina de Carnot seria aproximadamente 37,2%.

Resposta

O rendimento do ciclo é aproximadamente eta = 0,178 e o rendimento da máquina de Carnot correspondente é etaCarnot = 0,372.

Exercícios relacionados