Obtenha a expressão para a variação da energia interna
do sistema considerandose que o gás é representado pela equação de van der Waals:
R.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a expressão para a variação da energia interna (
) de um sistema onde o gás segue a equação de van der Waals:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica relacionados à energia interna, calor específico à volume constante (
) e como aplicar a equação de van der Waals para gases reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variação da energia interna (
) de um sistema pode ser calculada através da integral do calor específico à volume constante em relação à temperatura, mais a integral de uma função que depende do volume. Matematically, isso é representado por:
Aqui,
e
são as temperaturas inicial e final, respectivamente, e
e
são os volumes inicial e final.
Passo 3
Vamos entender cada parte dessa expressão. A primeira integral:
Representa a quantidade de energia necessária para aquecer o gás a volume constante de uma temperatura inicial
para uma final
. O calor específico à volume constante (
) é uma propriedade que indica quanto calor é necessário para aumentar a temperatura do gás sem alterar o volume.
Passo 4
A segunda integral:
Está relacionada à interação entre as moléculas do gás real descrito pela constante
na equação de van der Waals. Essa parte da variação da energia interna leva em consideração as forças de atração entre as moléculas, que dependem do volume
.
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente. A primeira integral é direta:
Para a segunda integral, temos:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes, a variação total da energia interna fica:
Resposta
A variação da energia interna do sistema é dada por: