Obtenha a expressão para a variação da energia interna De do sistema considerandose que o gás é representado pela equação de van der Waals:
P=R T(v-b)-av^2
R. De

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a expressão para a variação da energia interna ( De) de um sistema onde o gás segue a equação de van der Waals:
P=R T(v-b)-av^2
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica relacionados à energia interna, calor específico à volume constante ( cV) e como aplicar a equação de van der Waals para gases reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variação da energia interna ( De) de um sistema pode ser calculada através da integral do calor específico à volume constante em relação à temperatura, mais a integral de uma função que depende do volume. Matematically, isso é representado por:
De
Aqui, T0 e TF são as temperaturas inicial e final, respectivamente, e v0 e vF são os volumes inicial e final.

Passo 3

Vamos entender cada parte dessa expressão. A primeira integral:
integralT0^TF cV , dT
Representa a quantidade de energia necessária para aquecer o gás a volume constante de uma temperatura inicial T0 para uma final TF. O calor específico à volume constante ( cV) é uma propriedade que indica quanto calor é necessário para aumentar a temperatura do gás sem alterar o volume.

Passo 4

A segunda integral:
integralv0^vF (av^2) dv
Está relacionada à interação entre as moléculas do gás real descrito pela constante a na equação de van der Waals. Essa parte da variação da energia interna leva em consideração as forças de atração entre as moléculas, que dependem do volume v.

Passo 5

Vamos calcular as integrais separadamente. A primeira integral é direta:
integralT0^TF cV , dT = cV (TF - T0)
Para a segunda integral, temos:
integralv0^vF (av^2) dv = a integralv0^vF v^-2 dv = a [ -v^-1 ]v0^vF = a ( -1vF + 1v0 ) = a ( 1v0 - 1vF )

Passo 6

Agora, juntando as duas partes, a variação total da energia interna fica:
De

Resposta

A variação da energia interna do sistema é dada por:
De

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