Um tanque isolado de 1 m^3 possui dois compartimentos de volumes iguais separados por uma membrana. De um lado temos um gás ideal a 300 Ke 10 bar. Do outro lado o sistema é considerado com vácuo perfeito. Um pequeno orifício se forma na membrana fazendo com que o gás escoe lentamente para o outro compartimento até que o equilibrio seja estabelecido. Qual é a variação da entropia?
R.: De;

Passo 1

Beleza, vamos entender direitinho o que a questão está pedindo. Temos um tanque isolado de 1 metro cúbico dividido em dois compartimentos iguais por uma membrana. De um lado, tem um gás ideal a 300 K e 10 bar, e do outro lado, um vácuo perfeito. Quando um orifício aparece na membrana, o gás se espalha para o outro lado até equilibrar tudo. A pergunta é: qual é a variação da entropia desse processo?
Vamos usar conceitos de termodinâmica, principalmente relacionados à expansão livre de um gás e à entropia, além das leis dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa entropia. Entropia é uma medida da desordem ou da quantidade de energia dispersa em um sistema. Em processos irreversíveis, como a expansão livre que está acontecendo aqui, a entropia sempre aumenta.

Passo 3

Como o tanque é isolado, não há troca de calor com o ambiente (Q = 0). A expansão do gás para o vácuo é um processo denominado expansão livre isotérmica (já que a temperatura permanece constante). Nessa situação, o trabalho realizado pelo gás é zero (W = 0), porque não há pressão contra a qual o gás precise empurrar para expandir.

Passo 4

Para calcular a variação da entropia (ΔS), vamos usar a fórmula da entropia para um processo isotérmico reversível:
De
Onde:
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante dos gases ideais (aproximadamente 8,314 J/mol·K),
  • V_f é o volume final,
  • V_i é o volume inicial.

Passo 5

Vamos determinar V_f e V_i. Inicialmente, o gás ocupa apenas um dos compartimentos, então V_i = 0.5 \, \text{m}^3. Depois da expansão, ele se espalha igualmente pelos dois compartimentos, então V_f = 1.0 \, \text{m}^3.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o número de mols (n). Usamos a equação dos gases ideais:
P V = n R T
Reorganizando para encontrar n:
n = P VR T
Substituindo os valores:
P = 10 , bar = 10^6 , Pa V = 0.5 , m^3 T = 300 , K R = 8.314 , J/mol·K
Então:
n = 10^6 times 0.58.314 times 300 approx 5 times 10^52494.2 approx 200.56 , mols

Passo 7

Agora, calculamos a variação da entropia:
De
Sabemos que:
ln(1.00.5) = ln(2) approx 0.6931
Então:
De

Resposta

A variação da entropia é de aproximadamente De.

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