Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 8. Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve encontrar um intervalo em torno de 2 onde
fica dentro de uma vizinhança de 8.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite:
significa que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
No nosso caso,
e
. Então precisamos mostrar que para qualquer
, podemos encontrar um
tal que se
, então
.
Passo 3
Vamos manipular a expressão
para relacioná-la com
. Sabemos que
. Então:
Nosso objetivo é fazer
. Para isso, precisamos controlar tanto
quanto
.
Passo 4
Vamos limitar
para garantir que
fique próximo de 2. Suponha que
. Isso implica que
.
Dentro desse intervalo, podemos estimar
:
Então,
.
Passo 5
Agora, voltando à expressão
:
Queremos que isso seja menor que
, então:
Passo 6
Agora, definimos
como o mínimo entre 1 e
:
Assim, se
, garantimos que
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, provamos que
.
Exercícios relacionados
Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
Mostre que, ao aplicarmos o método de
de Simpson
vezes, considerando uma partição de
em um número
, o erro cometido será
Seja
, tal que
. Prove que
é contínua em
.
Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
.