Seja f: R R, tal que f(x)=x^3. Provar usando a definição de limite que lim x 2 f(x)=8

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 2, se aproxima de 8. Para isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve encontrar um intervalo em torno de 2 onde fica dentro de uma vizinhança de 8.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite: significa que para todo , existe um tal que se , então .
No nosso caso, e . Então precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que se , então .

Passo 3

Vamos manipular a expressão |x^3 - 8| = |x - 2||x^2 + 2x + 4| para relacioná-la com . Sabemos que . Então:
Nosso objetivo é fazer . Para isso, precisamos controlar tanto quanto .

Passo 4

Vamos limitar x^2 + 2x + 4 <= 3^2 + 2 cdot 3 + 4 = 9 + 6 + 4 = 19 para garantir que fique próximo de 2. Suponha que . Isso implica que .
Dentro desse intervalo, podemos estimar :
Então, .

Passo 5

Agora, voltando à expressão |x^3 - 8| = |x - 2||x^2 + 2x + 4| <= 19|x - 2| :
19|x - 2| < epsilon implies |x - 2| < epsilon19
Queremos que isso seja menor que , então:

Passo 6

Agora, definimos de como o mínimo entre 1 e :
Assim, se , garantimos que .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que .

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