Seja f: R-1 R, tal que f(x)=x^2-1x-1. Provar usando a definição de limite que lim x 1 f(x)=2

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos a função , definida para todos os números reais exceto quando . Queremos provar, usando a definição de limite, que o limite de quando se aproxima de 1 é igual a 2. Para isso, vamos utilizar a definição formal de limite e manipular a função para facilitar a prova.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Observe que o numerador f(x) = (x - 1)(x + 1)x - 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Substituindo isso na expressão de :

Passo 3

Agora, para f(x) = x + 1 , podemos cancelar o termo no numerador e denominador:
Agora, a função ficou mais simples: .

Passo 4

Para encontrar o limite de limx to 1 f(x) = limx to 1 (x + 1) = 1 + 1 = 2 quando se aproxima de 1, substituímos diretamente na função simplificada:

Resposta

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