Mostre que no caso de
ser real, então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos mostrar que, se a função de onda
for real, então a probabilidade de encontrar a partícula com momento
é igual à probabilidade de encontrá-la com momento
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à transformada de Fourier e às propriedades de funções reais.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a probabilidade de encontrar a partícula com um determinado momento
é dada pelo módulo ao quadrado da transformada de Fourier da função de onda
. Em fórmula:
onde
é a transformada de Fourier de
.
Passo 3
A transformada de Fourier de
é definida como:
Como
é uma função real, podemos explorar as propriedades das transformadas de Fourier para funções reais.
Passo 4
Para uma função real
, a transformada de Fourier
satisfaz a relação:
onde
é o conjugado complexo de
. Isso ocorre porque, se
é real, o termo exponencial com sinal oposto resulta no conjugado da transformada original.
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a relação que encontramos:
Sabemos que o módulo do conjugado complexo é igual ao módulo da própria função, ou seja,
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que quando a função de onda
é real, a probabilidade de encontrar a partícula com momento
é igual à probabilidade de encontrá-la com momento
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Um elétron está em um anel de circunferência
. Encontre a frequência que um fóton deve ter para que ao ser absorvido faça com que o elétron salte do nível de menor energia para o primeiro estado excitado (o imediatamente superior).
Se
é obtido em um experimento, qual é
, normalizada, imediatamente após o experimento?
Do último problema
onde a função
é uma função da variável contínua
assim como
é função da variável discreta
que somente assume valores quantizados.
Mostre que
soma à unidade no limite de
grande.
Mostre que
Uma partícula em um anel de circunferência
tem função de onda dada por
Qual seria uma estimativa razoável para ?
Normalize e mostre que
onde
, sendo
os coeficientes de uma expansão de
em termos de funções de onda de momento definido.
Qual seria uma estimativa razoável para
Normalize