Mostre que no caso de ser real, então .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos mostrar que, se a função de onda for real, então a probabilidade de encontrar a partícula com momento é igual à probabilidade de encontrá-la com momento , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à transformada de Fourier e às propriedades de funções reais.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a probabilidade de encontrar a partícula com um determinado momento é dada pelo módulo ao quadrado da transformada de Fourier da função de onda . Em fórmula:
onde é a transformada de Fourier de .

Passo 3

A transformada de Fourier de é definida como:
Como é uma função real, podemos explorar as propriedades das transformadas de Fourier para funções reais.

Passo 4

Para uma função real , a transformada de Fourier satisfaz a relação:
onde é o conjugado complexo de . Isso ocorre porque, se é real, o termo exponencial com sinal oposto resulta no conjugado da transformada original.

Passo 5

Agora, vamos calcular usando a relação que encontramos:
Sabemos que o módulo do conjugado complexo é igual ao módulo da própria função, ou seja, . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que quando a função de onda é real, a probabilidade de encontrar a partícula com momento é igual à probabilidade de encontrá-la com momento , ou seja, .

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