Mostre que no caso de psi(x) ser real, então P(p)=P(-p).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos mostrar que, se a função de onda psi(x) for real, então a probabilidade de encontrar a partícula com momento p é igual à probabilidade de encontrá-la com momento -p, ou seja, P(p) = P(-p). Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à transformada de Fourier e às propriedades de funções reais.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a probabilidade de encontrar a partícula com um determinado momento p é dada pelo módulo ao quadrado da transformada de Fourier da função de onda psi(x). Em fórmula:
P(p) = |phi(p)|^2
onde phi(p) é a transformada de Fourier de psi(x).

Passo 3

A transformada de Fourier de psi(x) é definida como:
phi(p) = 1raiz2pihbar integral-infty^infty psi(x) e^-i p x / hbar dx
Como psi(x) é uma função real, podemos explorar as propriedades das transformadas de Fourier para funções reais.

Passo 4

Para uma função real psi(x), a transformada de Fourier phi(p) satisfaz a relação:
phi(-p) = phi(p)^*
onde phi(p)^* é o conjugado complexo de phi(p). Isso ocorre porque, se psi(x) é real, o termo exponencial com sinal oposto resulta no conjugado da transformada original.

Passo 5

Agora, vamos calcular P(-p) usando a relação que encontramos:
P(-p) = |phi(-p)|^2 = |phi(p)^*|^2
Sabemos que o módulo do conjugado complexo é igual ao módulo da própria função, ou seja, |phi(p)^*| = |phi(p)|. Portanto:
P(-p) = |phi(p)|^2 = P(p)

Resposta

Assim, mostramos que quando a função de onda psi(x) é real, a probabilidade de encontrar a partícula com momento p é igual à probabilidade de encontrá-la com momento -p, ou seja, P(p) = P(-p).

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