Mostre que no caso de
ser real, então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos mostrar que, se a função de onda
for real, então a probabilidade de encontrar a partícula com momento
é igual à probabilidade de encontrá-la com momento
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados à transformada de Fourier e às propriedades de funções reais.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a probabilidade de encontrar a partícula com um determinado momento
é dada pelo módulo ao quadrado da transformada de Fourier da função de onda
. Em fórmula:
onde
é a transformada de Fourier de
.
Passo 3
A transformada de Fourier de
é definida como:
Como
é uma função real, podemos explorar as propriedades das transformadas de Fourier para funções reais.
Passo 4
Para uma função real
, a transformada de Fourier
satisfaz a relação:
onde
é o conjugado complexo de
. Isso ocorre porque, se
é real, o termo exponencial com sinal oposto resulta no conjugado da transformada original.
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a relação que encontramos:
Sabemos que o módulo do conjugado complexo é igual ao módulo da própria função, ou seja,
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que quando a função de onda
é real, a probabilidade de encontrar a partícula com momento
é igual à probabilidade de encontrá-la com momento
, ou seja,
.