Mostre a convergência das seguintes séries alternadas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você precisa mostrar se a série alternada converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é uma ferramenta da análise de séries matemáticas. Precisamos verificar se os termos da série estão diminuindo em módulo e se tendem a zero conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem o fator alternado. No caso, o termo geral é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se tende a zero quando vai para o infinito. Calculamos o limite:
Como o limite é , que não é zero, já podemos concluir que a série não converge pelo Teste da Série Alternada, pois um dos requisitos não foi atendido.

Resposta

A série não converge.

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Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
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