Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.

Passo 1

Vamos lá! Você quer descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação ou o método da comparação no limite, que são técnicas que ajudam a determinar o comportamento de séries infinitas comparando-as com outras séries que já sabemos se convergem ou divergem. Vamos precisar entender sobre séries, comparação de termos e, especificamente, sobre séries p.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série que você deu: . Sabemos que o cosseno de , , varia entre -1 e 1 para qualquer valor de . Portanto, o numerador estará sempre entre e . Isso significa que:

Passo 3

Agora, substituindo esses valores na expressão original, temos:
Isso nos mostra que os termos da nossa série estão “presos” entre e .

Passo 4

Vamos lembrar do que é uma série p. Uma série p tem a forma e sabemos que ela converge se e diverge se . No nosso caso, temos e , que são múltiplos de uma série p com .
Como , sabemos que a série converge.

Passo 5

Usando o método da comparação, já que nossos termos estão entre dois múltiplos de e sabemos que converge, podemos concluir que nossa série original também converge. Isso porque se uma série maior converge, a série menor também converge.

Resposta

A série converge.

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Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Mostre a convergência das seguintes séries alternadas.
Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.