Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Passo 1
Vamos lá! Você quer descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação ou o método da comparação no limite, que são técnicas que ajudam a determinar o comportamento de séries infinitas comparando-as com outras séries que já sabemos se convergem ou divergem. Vamos precisar entender sobre séries, comparação de termos e, especificamente, sobre séries p.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série que você deu:
. Sabemos que o cosseno de
,
, varia entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Portanto, o numerador
estará sempre entre
e
. Isso significa que:
Passo 3
Agora, substituindo esses valores na expressão original, temos:
Isso nos mostra que os termos da nossa série estão “presos” entre
e
.
Passo 4
Vamos lembrar do que é uma série p. Uma série p tem a forma
e sabemos que ela converge se
e diverge se
. No nosso caso, temos
e
, que são múltiplos de uma série p com
.
Como
, sabemos que a série
converge.
Passo 5
Usando o método da comparação, já que nossos termos
estão entre dois múltiplos de
e sabemos que
converge, podemos concluir que nossa série original também converge. Isso porque se uma série maior converge, a série menor também converge.
Resposta
A série
converge.
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Verifique que o
-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Mostre a convergência das seguintes séries alternadas.
Verifique que o
-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.