Verifique que o n-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série: sumn=1^infty 3 n^2n^3+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por sumn=1^infty 3 n^2n^3+2. O objetivo é verificar se o termo geral dessa série satisfaz as condições necessárias para aplicar o Teste da Integral e, com isso, concluir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar dos conceitos de séries infinitas, teste da integral e integração de funções contínuas e decrescentes.

Passo 2

Vamos começar analisando o termo geral da série, que é an = 3 n^2n^3+2. Precisamos verificar se essa expressão satisfaz as hipóteses do Teste da Integral, ou seja, se a função correspondente é positiva, contínua e decrescente para todo n a partir de algum índice.

Passo 3

Primeiro, verificamos se an é positiva. Observando a expressão 3 n^2n^3+2, vemos que tanto o numerador quanto o denominador são positivos para todo n >= 1. Portanto, an > 0 para todo n >= 1.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a função f(x) = 3 x^2x^3+2 é contínua para x >= 1. Como o denominador x^3+2 nunca é zero para x >= 1, a função f(x) é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se f(x) é decrescente para x >= 1. Para isso, calculamos a derivada de f(x):
f'(x) = ddx(3 x^2x^3+2) = (6x)(x^3+2) - 3x^2(3x^2)(x^3+2)^2 = 6x^4 + 12x - 9x^4(x^3+2)^2 = -3x^4 + 12x(x^3+2)^2
Para x >= 1, o termo -3x^4 + 12x é negativo porque -3x^4 domina 12x. Portanto, f'(x) < 0 para x >= 1, o que significa que f(x) é decrescente nesse intervalo.

Passo 6

Agora que verificamos que an = f(n) é positivo, contínuo e decrescente para n >= 1, podemos aplicar o Teste da Integral. Segundo esse teste, a série sumn=1^infty an converge se e somente se a integral integral1^infty f(x) , dx converge.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral1^infty 3 x^2x^3+2 , dx
Fazendo a substituição u = x^3 + 2, temos du = 3x^2 dx. Assim, a integral se transforma em:
integral 1u , du = ln|u| + C = ln(x^3+2) + C
Agora, avaliamos o limite quando x tende ao infinito:
limb to infty ln(b^3+2) - ln(1^3+2) = limb to infty ln(b^3+2) - ln(3) = infty
Como a integral diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3 n^2n^3+2 diverge.

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