Verifique que o
-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por
. O objetivo é verificar se o termo geral dessa série satisfaz as condições necessárias para aplicar o Teste da Integral e, com isso, concluir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar dos conceitos de séries infinitas, teste da integral e integração de funções contínuas e decrescentes.
Passo 2
Vamos começar analisando o termo geral da série, que é
. Precisamos verificar se essa expressão satisfaz as hipóteses do Teste da Integral, ou seja, se a função correspondente é positiva, contínua e decrescente para todo
a partir de algum índice.
Passo 3
Primeiro, verificamos se
é positiva. Observando a expressão
, vemos que tanto o numerador quanto o denominador são positivos para todo
. Portanto,
para todo
.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a função
é contínua para
. Como o denominador
nunca é zero para
, a função
é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se
é decrescente para
. Para isso, calculamos a derivada de
:
Para
, o termo
é negativo porque
domina
. Portanto,
para
, o que significa que
é decrescente nesse intervalo.
Passo 6
Agora que verificamos que
é positivo, contínuo e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Segundo esse teste, a série
converge se e somente se a integral
converge.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, temos
. Assim, a integral se transforma em:
Agora, avaliamos o limite quando
tende ao infinito:
Como a integral diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
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Verifique que o
-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série: