Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por . O objetivo é verificar se o termo geral dessa série satisfaz as condições necessárias para aplicar o Teste da Integral e, com isso, concluir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar dos conceitos de séries infinitas, teste da integral e integração de funções contínuas e decrescentes.

Passo 2

Vamos começar analisando o termo geral da série, que é . Precisamos verificar se essa expressão satisfaz as hipóteses do Teste da Integral, ou seja, se a função correspondente é positiva, contínua e decrescente para todo a partir de algum índice.

Passo 3

Primeiro, verificamos se é positiva. Observando a expressão , vemos que tanto o numerador quanto o denominador são positivos para todo . Portanto, para todo .

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a função é contínua para . Como o denominador nunca é zero para , a função é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se é decrescente para . Para isso, calculamos a derivada de :
Para , o termo é negativo porque domina . Portanto, para , o que significa que é decrescente nesse intervalo.

Passo 6

Agora que verificamos que é positivo, contínuo e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Segundo esse teste, a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição , temos . Assim, a integral se transforma em:
Agora, avaliamos o limite quando tende ao infinito:
Como a integral diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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