Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o cubo de qualquer número inteiro sempre pode ser escrito na forma ou . Aqui, estamos lidando com aritmética modular, que nos ajuda a entender os resíduos quando dividimos por um número, no caso, 7. Para resolver isso, vamos verificar todas as possibilidades dos resíduos de qualquer inteiro ao ser elevado ao cubo e dividido por 7.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer inteiro pode ser escrito na forma , onde é o resto da divisão por 7 e pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, vamos calcular o cubo de cada um desses restos e ver como eles se comportam em relação a 7.

Passo 3

Vamos calcular para cada valor de de 0 a 6:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 4

Agora, observamos os resultados dos cubos:
Podemos notar que os resíduos possíveis são 0, 1 e 6. Sabemos que , então podemos reescrever 6 como .

Passo 5

Portanto, os cubos dos restos podem ser expressos como:
Isso significa que, se é qualquer inteiro, então pode ser escrito como:
Para algum inteiro . Isso confirma o que queríamos demonstrar.

Resposta

Assim, mostramos que o cubo de qualquer inteiro é da forma ou .

Exercícios relacionados

Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou .
Mostre que qualquer inteiro da forma também é da forma , mas o contrário não é verdadeiro.
Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de ), então ele deve ser da forma 7 k ou .
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que .