Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou 7 k pm 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o cubo de qualquer número inteiro sempre pode ser escrito na forma ou . Aqui, estamos lidando com aritmética modular, que nos ajuda a entender os resíduos quando dividimos por um número, no caso, 7. Para resolver isso, vamos verificar todas as possibilidades dos resíduos de qualquer inteiro ao ser elevado ao cubo e dividido por 7.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer inteiro pode ser escrito na forma , onde é o resto da divisão por 7 e pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, vamos calcular o cubo de cada um desses restos e ver como eles se comportam em relação a 7.

Passo 3

Vamos calcular 0^3 = 0 equiv 0 pmod7 para cada valor de 1^3 = 1 equiv 1 pmod7 de 0 a 6:
  • Se 2^3 = 8 equiv 1 pmod7 (porque 8 - 7 = 1) :
    3^3 = 27 equiv 6 pmod7 (porque 27 - 21 = 6)
  • Se 4^3 = 64 equiv 1 pmod7 (porque 64 - 63 = 1) :
    5^3 = 125 equiv 6 pmod7 (porque 125 - 119 = 6)
  • Se 6^3 = 216 equiv 6 pmod7 (porque 216 - 210 = 6) :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 4

Agora, observamos os resultados dos cubos:
Podemos notar que os resíduos possíveis são 0, 1 e 6. Sabemos que , então podemos reescrever 6 como .

Passo 5

Portanto, os cubos dos restos podem ser expressos como:
0, 1, -1
Isso significa que, se n^3 = 7k, 7k + 1, ou 7k - 1 é qualquer inteiro, então pode ser escrito como:
Para algum inteiro . Isso confirma o que queríamos demonstrar.

Resposta

Assim, mostramos que o cubo de qualquer inteiro é da forma ou .

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