Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o cubo de qualquer número inteiro sempre pode ser escrito na forma
ou
. Aqui, estamos lidando com aritmética modular, que nos ajuda a entender os resíduos quando dividimos por um número, no caso, 7. Para resolver isso, vamos verificar todas as possibilidades dos resíduos de qualquer inteiro ao ser elevado ao cubo e dividido por 7.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer inteiro pode ser escrito na forma
, onde
é o resto da divisão por 7 e pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, vamos calcular o cubo de cada um desses restos e ver como eles se comportam em relação a 7.
Passo 3
Vamos calcular
para cada valor de
de 0 a 6:
-
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
: -
Se
:
Passo 4
Agora, observamos os resultados dos cubos:
Podemos notar que os resíduos possíveis são 0, 1 e 6. Sabemos que
, então podemos reescrever 6 como
.
Passo 5
Portanto, os cubos dos restos podem ser expressos como:
Isso significa que, se
é qualquer inteiro, então
pode ser escrito como:
Para algum inteiro
. Isso confirma o que queríamos demonstrar.
Resposta
Assim, mostramos que o cubo de qualquer inteiro é da forma
ou
.
Exercícios relacionados
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou .
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou
Mostre que qualquer inteiro da forma
também é da forma
, mas o contrário não é verdadeiro.
Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de
), então ele deve ser da forma 7 k ou
.
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que
.
a) Encontre inteiros