Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros
tais que
.
a) Encontre inteiros
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar inteiros
que satisfaçam a equação
. Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diofantinas, que busca soluções inteiras para equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é possível encontrar soluções inteiras para essa equação. Para isso, precisamos calcular o máximo divisor comum (mdc) dos coeficientes
e
.
- Calculando o mdc de 35 e 55:
- Agora, calculando o mdc de 5 e 77:
Como o mdc final é 1 e 1 divide o número à direita da equação (que também é 1), sabemos que existem soluções inteiras para a equação.
Passo 3
Vamos tentar encontrar uma solução particular. Para facilitar, vamos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para as outras. Vamos começar escolhendo
.
Substituindo
na equação original:
Passo 4
Agora, simplificamos a equação dividindo todos os termos por 5 (o mdc de 35 e 55):
Vamos resolver essa nova equação para encontrar
e
.
Passo 5
Isolando
:
Para que
seja inteiro,
precisa ser divisível por 7. Vamos encontrar um valor de
que satisfaça essa condição.
Multiplicando ambos os lados por 2 (que é o inverso de 4 modulo 7):
Isso significa que
pode ser escrito como:
Escolhendo
:
Passo 6
Substituindo
na equação para
:
Resposta
Uma solução inteira é
,
e
.
Exercícios relacionados
Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de
), então ele deve ser da forma 7 k ou
.
Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou
.
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros ,
tais que
.
a) Encontre inteiros
Prove que o máximo divisor comum de dois inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum deles.