Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar inteiros que satisfaçam a equação . Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diofantinas, que busca soluções inteiras para equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é possível encontrar soluções inteiras para essa equação. Para isso, precisamos calcular o máximo divisor comum (mdc) dos coeficientes e .
  • Calculando o mdc de 35 e 55:
  • Agora, calculando o mdc de 5 e 77:
Como o mdc final é 1 e 1 divide o número à direita da equação (que também é 1), sabemos que existem soluções inteiras para a equação.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma solução particular. Para facilitar, vamos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para as outras. Vamos começar escolhendo .
Substituindo na equação original:

Passo 4

Agora, simplificamos a equação dividindo todos os termos por 5 (o mdc de 35 e 55):
Vamos resolver essa nova equação para encontrar e .

Passo 5

Isolando :
Para que seja inteiro, precisa ser divisível por 7. Vamos encontrar um valor de que satisfaça essa condição.
Multiplicando ambos os lados por 2 (que é o inverso de 4 modulo 7):
Isso significa que pode ser escrito como:
é
Escolhendo :

Passo 6

Substituindo na equação para :

Resposta

Uma solução inteira é , e .

Exercícios relacionados

Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de ), então ele deve ser da forma 7 k ou .
Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou .
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros , tais que .
Prove que o máximo divisor comum de dois inteiros positivos divide o mínimo múltiplo comum deles.