Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros x, y, z tais que 35 x+55 y+77 z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar inteiros que satisfaçam a equação . Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diofantinas, que busca soluções inteiras para equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é possível encontrar soluções inteiras para essa equação. Para isso, precisamos calcular o máximo divisor comum (mdc) dos coeficientes mdc(35, 55) = 5 e mdc(5, 77) = 1 .
  • Calculando o mdc de 35 e 55:
  • Agora, calculando o mdc de 5 e 77:
Como o mdc final é 1 e 1 divide o número à direita da equação (que também é 1), sabemos que existem soluções inteiras para a equação.

Passo 3

Vamos tentar encontrar uma solução particular. Para facilitar, vamos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para as outras. Vamos começar escolhendo 35x + 55y + 77 times 3 = 1 .
Substituindo 35x + 55y + 231 = 1 na equação original:
35x + 55y = 1 - 231
35x + 55y = -230

Passo 4

Agora, simplificamos a equação dividindo todos os termos por 5 (o mdc de 35 e 55):
7x + 11y = -46
Vamos resolver essa nova equação para encontrar e .

Passo 5

Isolando 7x = -46 - 11y :
x = -46 - 11y7
-46 equiv 3 (mod 7) 11y equiv 4y (mod 7)
Para que 3 - 4y equiv 0 (mod 7) seja inteiro, 4y equiv 3 (mod 7) precisa ser divisível por 7. Vamos encontrar um valor de 8y equiv 6 (mod 7) que satisfaça essa condição.
y equiv 6 (mod 7)
y = 7k + 6 onde k é um inteiro
y = 6
Multiplicando ambos os lados por 2 (que é o inverso de 4 modulo 7):
Isso significa que pode ser escrito como:
é
Escolhendo :

Passo 6

Substituindo x = -46 - 11 times 67 x = -46 - 667 x = -1127 x = -16 na equação para :

Resposta

Uma solução inteira é , e .

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