Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de ), então ele deve ser da forma 7 k ou .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar que se um número inteiro é, ao mesmo tempo, um quadrado perfeito e um cubo perfeito (como o 64, que é e ), então esse número deve ter a forma ou , onde é um número inteiro. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de aritmética modular e propriedades de números quadrados e cúbicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número que é tanto quadrado quanto cubo é o mesmo que ser um sexto poder, pois . Portanto, estamos procurando números que podem ser escritos como , onde é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos analisar os possíveis resíduos de quando dividido por 7. Em aritmética modular, os resíduos possíveis de qualquer número ao ser dividido por 7 são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Vamos calcular para cada um desses casos.

Passo 4

Calculando para :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Observamos que, independentemente do valor de , sempre resulta em 0 ou 1. Isso significa que qualquer número que é um sexto poder (e, portanto, tanto quadrado quanto cubo) deve ser congruente a 0 ou 1 módulo 7.

Passo 6

Então, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo, ele pode ser expresso como (quando o número é múltiplo de 7) ou (quando o número deixa resto 1 ao ser dividido por 7), onde é um número inteiro.

Resposta

Se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo, então ele deve ser da forma ou , onde é um número inteiro.

Exercícios relacionados

Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou .
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou .
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que .
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros , tais que .