Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de
), então ele deve ser da forma 7 k ou
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar que se um número inteiro é, ao mesmo tempo, um quadrado perfeito e um cubo perfeito (como o 64, que é
e
), então esse número deve ter a forma
ou
, onde
é um número inteiro. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de aritmética modular e propriedades de números quadrados e cúbicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número que é tanto quadrado quanto cubo é o mesmo que ser um sexto poder, pois
. Portanto, estamos procurando números que podem ser escritos como
, onde
é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos analisar os possíveis resíduos de
quando dividido por 7. Em aritmética modular, os resíduos possíveis de qualquer número ao ser dividido por 7 são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Vamos calcular
para cada um desses casos.
Passo 4
Calculando
para
:
- Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
:
Passo 5
Observamos que, independentemente do valor de
,
sempre resulta em 0 ou 1. Isso significa que qualquer número que é um sexto poder (e, portanto, tanto quadrado quanto cubo) deve ser congruente a 0 ou 1 módulo 7.
Passo 6
Então, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo, ele pode ser expresso como
(quando o número é múltiplo de 7) ou
(quando o número deixa resto 1 ao ser dividido por 7), onde
é um número inteiro.
Resposta
Se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo, então ele deve ser da forma
ou
, onde
é um número inteiro.
Exercícios relacionados
Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou
.
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou .
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que
.
a) Encontre inteiros
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros ,
tais que
.
a) Encontre inteiros