Seja
uma função derivável tal que
e
para todo
. Mostre que
para todo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida para todos os números reais não negativos (
), que é derivável. Sabemos que
e que a derivada de
, chamada
, é sempre positiva e no máximo igual a 1 para todo
. Nosso objetivo é mostrar que, para todo
, o valor da função
está entre 0 e
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente relacionados à derivada e à integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que significa
. Isso indica que a função
está sempre aumentando. Ou seja, conforme
aumenta,
também aumenta.
Passo 3
Agora, vamos considerar que
para todo
. Isso quer dizer que a taxa de aumento de
nunca excede a taxa de aumento da função identidade
, cuja derivada é exatamente 1.
Passo 4
Sabendo disso, podemos expressar
como a integral de sua derivada desde 0 até
:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Como
para todo
no intervalo
, podemos dizer que:
Portanto:
Passo 6
Além disso, já sabemos que
, o que implica que a integral de
de 0 até
também é maior que 0:
Então:
Passo 7
Combinando as duas desigualdades que obtivemos:
Queremos mostrar que
. Observe que se
for sempre menor que 1, a integral será estritamente menor que
, garantindo
. Mesmo que em alguns pontos
, desde que haja ao menos um intervalo onde
, teremos
.
Resposta
Para todo
, temos que
.
Exercícios relacionados
É possível generalizar o resultado do item (a) para uma função polinomial de grau
(com
)? Prove ou forneça um contraexemplo.
Seja a função
. Encontre um limitante superior para o erro
cometido ao usar
para aproximar
no intervalo
.
Atenção: Para calcular os valores de , programe sua calculadora para que
seja medido em radianos.
Atenção: Para calcular os valores de
Mostre que a função
é estritamente decrescente no intervalo
e conclua que
.
Mostre que a equação
tem uma única raiz real.