Seja f:[0,+infty) R uma função derivável tal que f(0)=0 e 0 para todo x>0. Mostre que 0 para todo x>0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para todos os números reais não negativos ( ), que é derivável. Sabemos que e que a derivada de , chamada , é sempre positiva e no máximo igual a 1 para todo . Nosso objetivo é mostrar que, para todo , o valor da função está entre 0 e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente relacionados à derivada e à integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa . Isso indica que a função está sempre aumentando. Ou seja, conforme aumenta, também aumenta.

Passo 3

Agora, vamos considerar que para todo . Isso quer dizer que a taxa de aumento de nunca excede a taxa de aumento da função identidade , cuja derivada é exatamente 1.

Passo 4

Sabendo disso, podemos expressar f(x) = f(0) + integral0^x f'(t) , dt como a integral de sua derivada desde 0 até f(x) = integral0^x f'(t) , dt :
Como , simplificamos para:

Passo 5

Como integral0^x f'(t) , dt <= integral0^x 1 , dt = x para todo f(x) <= x no intervalo , podemos dizer que:
Portanto:

Passo 6

Além disso, já sabemos que f(x) = integral0^x f'(t) , dt > 0 , o que implica que a integral de 0 < f(x) de 0 até também é maior que 0:
Então:

Passo 7

Combinando as duas desigualdades que obtivemos:
0 < f(x) <= x
Queremos mostrar que . Observe que se for sempre menor que 1, a integral será estritamente menor que , garantindo . Mesmo que em alguns pontos , desde que haja ao menos um intervalo onde , teremos .

Resposta

Para todo , temos que .

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