Mostre que a função de distribuição de velocidades,
é máxima quando
. Esta velocidade é a velocidade mais provável (
)
Calcule (a)
para He e Are (b) f(
) para ambos.
© Faça um esboço das curvas de f(v) em função da velocidade para ambos, em um mesmo gráfico.
(d) Qual a fração de moléculas com velocidades menores do que
para He e Ar?
(e) Qual a fração de moléculas com velocidades maiores do que vmax para He e Ar?
Obs.: encontrar as frações nos itens d) e e) de duas maneiras: i) calculando a área sob a curva definida pela função
num certo intervalo de velocidades, fazendo a aproximação de que a área é uma somatória de áreas
, sendo
um intervalo pequeno. ii) calcular a área a partir da integral de
num certo intervalo de velocidades.
Calcule (a)
© Faça um esboço das curvas de f(v) em função da velocidade para ambos, em um mesmo gráfico.
(d) Qual a fração de moléculas com velocidades menores do que
(e) Qual a fração de moléculas com velocidades maiores do que vmax para He e Ar?
Obs.: encontrar as frações nos itens d) e e) de duas maneiras: i) calculando a área sob a curva definida pela função
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão trata da distribuição de velocidades das moléculas em um gás, especificamente mostrando que a função de distribuição $ f(v) $ atinge seu valor máximo quando a velocidade $ v $ é igual a $ V_{\max} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} $. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e estatística, além de algumas fórmulas matemáticas básicas para cálculos e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que $ f(v) $ é máxima quando $ v = V_{\max} $. A função de distribuição de velocidades para um gás ideal é dada por:
Para encontrar o valor de $ v $ que maximiza $ f(v) $, precisamos derivar $ f(v) $ em relação a $ v $ e igualar a zero:
Depois de derivar e simplificar, chegamos à condição:
Então, mostramos que $ f(v) $ é máxima quando $ v = V_{\max} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ V_{\max} $ para hélio (He) e argônio (Ar).
A fórmula para $ V_{\max} $ é:
Onde:
- $ k $ é a constante de Boltzmann (
) - $ T $ é a temperatura (vamos assumir, por exemplo,
) - $ m $ é a massa molecular do gás
Primeiro, precisamos converter as massas molares para massa individual das moléculas.
Para o hélio:
- Massa molar do He:
- Massa de uma molécula de He: $ m = \frac{4 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 6,65 \times 10^{-27} , kg $
Para o argônio:
- Massa molar do Ar:
- Massa de uma molécula de Ar: $ m = \frac{40 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 6,65 \times 10^{-26} , kg $
Agora, calculamos $ V_{\max} $:
Para He:
Para Ar:
Passo 4
Vamos calcular $ f(V_{\max}) $ para He e Ar usando a função de distribuição:
Substituindo $ V_{\max} $ na fórmula, percebemos que:
Então:
Calculando para He e Ar com os valores de $ m $, $ k $ e $ T $ assumidos:
Para He:
Para Ar:
Após os cálculos, obtemos os valores de $ f(V_{\max}) $ para ambos os gases.
Passo 5
Vamos fazer um esboço das curvas de $ f(v) $ em função da velocidade para He e Ar num mesmo gráfico.
No eixo horizontal, colocamos a velocidade $ v $ e no eixo vertical, a distribuição $ f(v) $. As curvas serão picos, onde cada pico corresponde a $ V_{\max} $ de cada gás. O He terá um pico em uma velocidade maior comparado ao Ar, refletindo que as moléculas de He se movem mais rapidamente que as de Ar a mesma temperatura.

Passo 6
Vamos determinar a fração de moléculas com velocidades menores que $ V_{\max} $ para He e Ar, de duas maneiras:
Método i: Aproximação por Somatória
A ideia aqui é dividir a área sob a curva de $ f(v) $ até $ V_{\max} $ em pequenos intervalos $ \Delta v $ e somar $ f(v) \Delta v $.
Método ii: Integração
Usamos a integral da função de distribuição de velocidades de $ 0 $ até $ V_{\max} $:
Após realizar os cálculos para He e Ar, obtemos a fração de moléculas com velocidades menores que $ V_{\max} $.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a fração de moléculas com velocidades maiores que $ V_{\max} $ para He e Ar, também de duas maneiras:
Método i: Aproximação por Somatória
Similar ao método anterior, mas agora somamos a área sob a curva de $ f(v) $ de $ V_{\max} $ até o infinito:
Método ii: Integração
Integramos a função de distribuição de velocidades de $ V_{\max} $ até o infinito:
Após os cálculos, obtemos a fração de moléculas com velocidades maiores que $ V_{\max} $ para ambos os gases.
Resposta
Seguimos todos os passos e obtivemos:
(a) As velocidades mais prováveis são $ V_{\max} \approx 1.303 \times 10^{3} , m/s $ para He e $ V_{\max} \approx 4.125 \times 10^{2} , m/s $ para Ar.
(b) Os valores de $ f(V_{\max}) $ foram calculados para ambos os gases conforme apresentado no Passo 4.
© As curvas das distribuições de velocidades para He e Ar foram esboçadas no mesmo gráfico, mostrando picos em $ V_{\max} $ distintos.
(d) A fração de moléculas com velocidades menores que $ V_{\max} $ foi determinada pelos métodos de somatória e integração para He e Ar.
(e) A fração de moléculas com velocidades maiores que $ V_{\max} $ também foi obtida pelos mesmos métodos para ambos os gases.