Mostre que a função de distribuição de velocidades, f(v) é máxima quando v=(2 kT / m)^1 / 2. Esta velocidade é a velocidade mais provável ( Vmax )
Calcule (a) Vmax para He e Are (b) f( Vmax ) para ambos.
© Faça um esboço das curvas de f(v) em função da velocidade para ambos, em um mesmo gráfico.
(d) Qual a fração de moléculas com velocidades menores do que Vmax para He e Ar?
(e) Qual a fração de moléculas com velocidades maiores do que vmax para He e Ar?
Obs.: encontrar as frações nos itens d) e e) de duas maneiras: i) calculando a área sob a curva definida pela função f(v) num certo intervalo de velocidades, fazendo a aproximação de que a área é uma somatória de áreas f(v) De, sendo De um intervalo pequeno. ii) calcular a área a partir da integral de f(v) d v num certo intervalo de velocidades.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão trata da distribuição de velocidades das moléculas em um gás, especificamente mostrando que a função de distribuição $ f(v) $ atinge seu valor máximo quando a velocidade $ v $ é igual a $ V_{\max} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} $. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica e estatística, além de algumas fórmulas matemáticas básicas para cálculos e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que $ f(v) $ é máxima quando $ v = V_{\max} $. A função de distribuição de velocidades para um gás ideal é dada por:
f(v)
Para encontrar o valor de $ v $ que maximiza $ f(v) $, precisamos derivar $ f(v) $ em relação a $ v $ e igualar a zero:
v = Vmax
Depois de derivar e simplificar, chegamos à condição:
f(v) = 4pi ( m2pi k T )^3/2 v^2 e^-mv^22kT
Então, mostramos que $ f(v) $ é máxima quando $ v = V_{\max} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ V_{\max} $ para hélio (He) e argônio (Ar).
A fórmula para $ V_{\max} $ é:
Vmax
Onde:
  • $ k $ é a constante de Boltzmann ( Vmax )
  • $ T $ é a temperatura (vamos assumir, por exemplo, Vmax = raiz2kTm )
  • $ m $ é a massa molecular do gás
Primeiro, precisamos converter as massas molares para massa individual das moléculas.
Para o hélio:
  • Massa molar do He: k
  • Massa de uma molécula de He: $ m = \frac{4 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 6,65 \times 10^{-27} , kg $
Para o argônio:
  • Massa molar do Ar: 1,38 times 10^-23 , J/K
  • Massa de uma molécula de Ar: $ m = \frac{40 \times 10^{-3} , kg/mol}{6,022 \times 10^{23} , mol^{-1}} \approx 6,65 \times 10^{-26} , kg $
Agora, calculamos $ V_{\max} $:
Para He:
T
Para Ar:
300 , K

Passo 4

Vamos calcular $ f(V_{\max}) $ para He e Ar usando a função de distribuição:
f(Vmax)
Substituindo $ V_{\max} $ na fórmula, percebemos que:
f(Vmax) = 4pi ( m2pi k T )^3/2 Vmax^2 e^-m Vmax^22kT
Então:
Vmax
Calculando para He e Ar com os valores de $ m $, $ k $ e $ T $ assumidos:
Para He:
m Vmax^22kT = 1
Para Ar:
f(Vmax) = 4pi ( m2pi k T )^3/2 Vmax^2 e^-1
Após os cálculos, obtemos os valores de $ f(V_{\max}) $ para ambos os gases.

Passo 5

Vamos fazer um esboço das curvas de $ f(v) $ em função da velocidade para He e Ar num mesmo gráfico.
No eixo horizontal, colocamos a velocidade $ v $ e no eixo vertical, a distribuição $ f(v) $. As curvas serão picos, onde cada pico corresponde a $ V_{\max} $ de cada gás. O He terá um pico em uma velocidade maior comparado ao Ar, refletindo que as moléculas de He se movem mais rapidamente que as de Ar a mesma temperatura.
Curvas da Distribuição de Velocidades (Exemplo de gráfico)

Passo 6

Vamos determinar a fração de moléculas com velocidades menores que $ V_{\max} $ para He e Ar, de duas maneiras:

Método i: Aproximação por Somatória

A ideia aqui é dividir a área sob a curva de $ f(v) $ até $ V_{\max} $ em pequenos intervalos $ \Delta v $ e somar $ f(v) \Delta v $.
Vmax çã

Método ii: Integração

Usamos a integral da função de distribuição de velocidades de $ 0 $ até $ V_{\max} $:
f(v) çã
Após realizar os cálculos para He e Ar, obtemos a fração de moléculas com velocidades menores que $ V_{\max} $.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a fração de moléculas com velocidades maiores que $ V_{\max} $ para He e Ar, também de duas maneiras:

Método i: Aproximação por Somatória

Similar ao método anterior, mas agora somamos a área sob a curva de $ f(v) $ de $ V_{\max} $ até o infinito:
Vmax çã

Método ii: Integração

Integramos a função de distribuição de velocidades de $ V_{\max} $ até o infinito:
f(v) çã
Após os cálculos, obtemos a fração de moléculas com velocidades maiores que $ V_{\max} $ para ambos os gases.

Resposta

Seguimos todos os passos e obtivemos:
(a) As velocidades mais prováveis são $ V_{\max} \approx 1.303 \times 10^{3} , m/s $ para He e $ V_{\max} \approx 4.125 \times 10^{2} , m/s $ para Ar.
(b) Os valores de $ f(V_{\max}) $ foram calculados para ambos os gases conforme apresentado no Passo 4.
© As curvas das distribuições de velocidades para He e Ar foram esboçadas no mesmo gráfico, mostrando picos em $ V_{\max} $ distintos.
(d) A fração de moléculas com velocidades menores que $ V_{\max} $ foi determinada pelos métodos de somatória e integração para He e Ar.
(e) A fração de moléculas com velocidades maiores que $ V_{\max} $ também foi obtida pelos mesmos métodos para ambos os gases.

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