É possível generalizar o resultado do item (a) para uma função polinomial de grau
(com
)? Prove ou forneça um contraexemplo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta quer saber se conseguimos estender o resultado do item (a) para qualquer função polinomial de grau
, onde
é pelo menos 1. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções polinomiais, seus graus e como generalizar resultados de um caso específico para casos mais amplos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função polinomial de grau
. É uma função da forma:
onde
e
é um número inteiro positivo. O grau da função é o maior expoente de
que aparece na expressão.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que o item (a) provavelmente tratava. Embora não tenhamos o enunciado completo, geralmente questões que pedem para generalizar se baseiam em um caso específico, como polinômios de segundo grau (
). Vamos supor que o item (a) mostrou uma propriedade ou um resultado válido para polinômios quadráticos.
Passo 4
Para generalizar esse resultado para qualquer grau
, precisamos ver se o que foi mostrado no caso
se aplica quando ampliamos para polinômios de graus maiores. Isso pode envolver verificar se as propriedades usadas no caso específico ainda são válidas ou se precisamos de ajustes.
Passo 5
Vamos considerar um exemplo simples. Se o item (a) dizia que todo polinômio de grau 2 pode ser fatorado em termos de seus raízes, queremos ver se isso vale para qualquer grau
. De fato, o Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que todo polinômio de grau
possui exatamente
raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Portanto, podemos fatorar qualquer polinômio de grau
em termos de suas raízes:
Passo 6
Esse raciocínio mostra que a propriedade observada no caso
se mantém para qualquer grau
. Assim, conseguimos generalizar o resultado do item (a) para funções polinomiais de qualquer grau.
Resposta
Sim, é possível generalizar o resultado para qualquer função polinomial de grau
. Todo polinômio de grau
pode ser fatorado em termos de suas
raízes no conjunto dos números complexos, conforme demonstrado.
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Seja a função
. Encontre um limitante superior para o erro
cometido ao usar
para aproximar
no intervalo
.
Atenção: Para calcular os valores de , programe sua calculadora para que
seja medido em radianos.
Atenção: Para calcular os valores de
Seja a função
. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem três
em torno de
e use-o para calcular o valor aproximado de
.
Seja
uma função derivável tal que
e
para todo
. Mostre que
para todo
.
Mostre que a função
é estritamente decrescente no intervalo
e conclua que
.