É possível generalizar o resultado do item (a) para uma função polinomial de grau n (com n >= 1 )? Prove ou forneça um contraexemplo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta quer saber se conseguimos estender o resultado do item (a) para qualquer função polinomial de grau n, onde n é pelo menos 1. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções polinomiais, seus graus e como generalizar resultados de um caso específico para casos mais amplos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função polinomial de grau n. É uma função da forma:
P(x) = anx^n + an-1x^n-1 + dots + a1x + a0
onde an neq 0 e n é um número inteiro positivo. O grau da função é o maior expoente de x que aparece na expressão.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que o item (a) provavelmente tratava. Embora não tenhamos o enunciado completo, geralmente questões que pedem para generalizar se baseiam em um caso específico, como polinômios de segundo grau ( n=2). Vamos supor que o item (a) mostrou uma propriedade ou um resultado válido para polinômios quadráticos.

Passo 4

Para generalizar esse resultado para qualquer grau n >= 1, precisamos ver se o que foi mostrado no caso n=2 se aplica quando ampliamos para polinômios de graus maiores. Isso pode envolver verificar se as propriedades usadas no caso específico ainda são válidas ou se precisamos de ajustes.

Passo 5

Vamos considerar um exemplo simples. Se o item (a) dizia que todo polinômio de grau 2 pode ser fatorado em termos de seus raízes, queremos ver se isso vale para qualquer grau n. De fato, o Teorema Fundamental da Álgebra nos diz que todo polinômio de grau n possui exatamente n raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Portanto, podemos fatorar qualquer polinômio de grau n em termos de suas raízes:
P(x) = an(x - r1)(x - r2)dots(x - rn)

Passo 6

Esse raciocínio mostra que a propriedade observada no caso n=2 se mantém para qualquer grau n >= 1. Assim, conseguimos generalizar o resultado do item (a) para funções polinomiais de qualquer grau.

Resposta

Sim, é possível generalizar o resultado para qualquer função polinomial de grau n >= 1. Todo polinômio de grau n pode ser fatorado em termos de suas n raízes no conjunto dos números complexos, conforme demonstrado.

Exercícios relacionados

Seja a função f(x)=2 x cos (2 x)-(x-2)^2. Encontre um limitante superior para o erro |f(x)-P3(x)| cometido ao usar P3(x) para aproximar f(x) no intervalo [0,0.8].
Atenção: Para calcular os valores de cos (2 x), programe sua calculadora para que x seja medido em radianos.
Seja a função f(x)=2 x cos (2 x)-(x-2)^2. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem três P3(x) em torno de x0=0 e use-o para calcular o valor aproximado de f(0.4).
Seja f:[0,+infty) R uma função derivável tal que f(0)=0 e 0 para todo x>0. Mostre que 0 para todo x>0.
Mostre que a função f(x)=x^1 / x é estritamente decrescente no intervalo (1,+infty) e conclua que e^pi>pi^e.