Mostre que, se a é um inteiro ímpar, então para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que, se
é um inteiro ímpar, então para todo
,
divide
. Isso envolve conceitos de divisibilidade e potências, e vamos usar o método de indução matemática para provar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é múltiplo de
. Em outras palavras, quando dividimos
por
, o resto é zero.
Passo 3
Vamos usar indução matemática, que tem dois passos principais:
- Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para um valor inicial de
, geralmente . - Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum
e, então, mostrar que ela também é verdadeira para .
Passo 4
Base da indução
:
Vamos calcular
:
Como
é ímpar, podemos escrever
, onde
é algum inteiro. Então:
Queremos que
divida
. Ou seja,
. Isso é verdadeiro se
for par, mas como
é ímpar,
pode ser qualquer inteiro, então
é múltiplo de 2, mas não necessariamente de 4. Portanto, a base da indução para
não está correta.
Correção da base da indução:
Na verdade, vamos considerar
para que a base funcione melhor. Vamos refazer para
:
Sabendo que
é ímpar,
:
Então:
Aqui, vemos que
é múltiplo de 4, ou seja,
. Assim, a base da indução para
está correta.
Passo 5
Passo indutivo:
Vamos supor que a afirmação seja verdadeira para
, ou seja:
Queremos mostrar que isso implica que:
Vamos analisar
:
Pelo hipótese de indução, sabemos que
. Além disso, como
é ímpar,
também é ímpar, então
é par, ou seja, é múltiplo de 2.
Portanto:
Sabemos que
é múltiplo de
e
é múltiplo de 2, então o produto será múltiplo de
.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que se
é um inteiro ímpar, então para todo
,
divide
.
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b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas: ou
.
b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas:
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que
.
a) Encontre inteiros
Prove que
não é um número inteiro para
.